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Animali matematici 18 gennaio 2010

Posted by Alessandra in Uncategorized.
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  1. Corvi e numer1

C’è un racconto che risale al Settecento, citato da tutti gli studiosi delle abilità matematiche degli animali. E’ la triste storia di un corvo che viveva in una torre e che, per sua sfortuna, sapeva contare soltanto fino a cinque:

Un contadino voleva uccidere un corvo che aveva fatto il suo nido in cima a una torre, dentro ai suoi poderi. Ma ogni volta che si avvicinava, l’uccello volava via, fuori  dalla portata del suo fucile, finché non si allontanava. Solo allora il corvo ritornava nella torre, riprendendo le sue dannose incursioni sui terreni del contadino. Questi pensò allora di chiedere aiuto a un suo vicino. I due uomini armati entrarono insieme nella torre, ma poco dopo ne uscì soltanto uno. Il corvo però non si lasciò ingannare, e non ritornò al nido finché non fu uscito anche il secondo contadino. Per riuscire ad ingannarlo entrarono poi tre uomini e successivamente quattro e cinque. Ma il corvo ogni volta aspettava che fossero usciti tutti prima di far ritorno al nido. Soltanto in sei finalmente, i contadini ebbero la meglio, infatti il corvo aspettò che cinque di loro fossero usciti e quindi fiducioso rientrò sulla torre, dove il sesto contadino lo uccise.

Questo significa che il corvo sapeva contare fino a cinque? Al di là di questo racconto e di ogni dubbio, è quanto ha dimostrato sessant’anni fa Otto Koehler, celebre etologo tedesco. Koehler è stato fra i primi studiosi delle abilità matematiche degli animali ad ottenere risultati scientificamente corretti. Protagonista di uno dei suoi esperimenti più famosi era proprio un corvo, di nome Jacob. Al corvo venivano presentate diverse scatole con un coperchio sul quale erano disegnati un certo numero di punti. Il corvo veniva premiato quando apriva la scatola che presentava sul coperchio un numero di punti uguale a quello dei punti disegnati su un cartoncino che gli veniva mostrato. Jacob imparò a scegliere fra le diverse scatole quella che aveva sul coperchio lo stesso  numero di punti del cartoncino. Alla fine Jacob sapeva distinguere 2, 3, 4, 5 e 6 punti. Uno in più del “corvo della torre”. Si tenga presente che i punti sul coperchio erano diversi, per forma e disposizione, da quelli disegnati sul cartoncino. Koehler dimostrò così che gli uccelli erano in grado di confrontare due numerosità e di ricordare il numero di oggetti presentati in tempi successivi.

“Il nostro cervello – sostiene Stanislas Dehaene, un  matematico  specializzato  in psicologia   cognitiva che   si  è dedicato   allo   studio   della rappresentazione   dei   numeri   e   della   matematica – esattamente come quello del corvo, è dotato da tempo immemorabile di una rappresentazione intuitiva delle quantità”. Gli animali sanno dunque contare, anche se non contano esattamente come noi, ma in un modo più approssimativo, più “vago”.

2.  Canarini, pappagalli e altri uccelli matematici


Non sono soltanto i corvi a dimostrare certe abilità matematiche naturalmente. Lo stesso Koehler addestrò alcune taccole a sollevare i coperchi di un certo numero di scatole per arrivare a prendere da esse un numero stabilito di pezzetti di cibo. Raggiunto il numero proposto dall’addestratore dovevano fermarsi. Le taccole arrivarono ad eseguire con successo questi esperimenti. Altri ricercatori addestrarono un gruppo di canarini a scegliere la quinta pastiglia che incontravano durante la loro ispezione di una serie di gabbie comunicanti. Piccioni furono in grado di contare il numero dei loro colpi di becco, arrivando a distinguere quarantacinque da cinquanta colpi.

Oggi, fra gli uccelli, c’è una vera star della matematica. Si chiama Alex ed è un pappagallo cenerino africano. Pazientemente,  la psicologa Irene Pepperberg della Brandeis University in Waltham, Massachusetts, lo ha seguito per 27 anni, insegnandogli un vasto vocabolario di parole inglesi e fra queste i nomi di sette colori, di cinque forme e i numeri da uno a sei.

Quando gli si chiede quanti oggetti ci siano in un vassoio risponde nel suo migliore inglese con il numero corrispondente, anche se gli vengono presentati oggetti mai visti prima.  La cosa più sorprendente, secondo Pepperberg, sarebbe  la conquista dello zero,  un concetto difficile della matematica, lo zero, al quale i bambini arrivano soltanto all’età di tre o quattro anni. Nelle prove delle sue abilità di calcolo usa correttamente il termine “nessuno” in assenza di una quantità numerica da calcolare. Questa conclusione è un po’ azzardata ed è stata infatti contestata da molti altri esperti.

Alex non ha capito probabilmente cosa significhi addizionare o sottrarre zero a un numero, ma più semplicemente potrebbe rispondere “none” quando non riesce a identificare il numero degli oggetti che si trova di fronte. E questa è forse l’osservazione più sensata riguardo alla sua padronanza del concetto di zero.

Una triste notizia. Il 6 settembre scorso Alex è morto, all’età di 31 anni. Grazie al paziente lavoro della sua istruttrice era arrivato a identificare il nome di 5o oggetti, oltre alle sue straordinarie capacità che abbiamo descritto. Ne ha dato l’annuncio l’agenzia di stampa Reuters l’11 settembre 2007.

3.  I leoni sanno contare

Leonesse del Serengeti

In seguito, lo stesso Koehler e molti altri scienziati condussero diversi esperimenti con altri animali, confermando le loro capacità numeriche.

L’esperimento più curioso  e spettacolare è sicuramente quello condotto da Karen McComb, dell’Università del Sussex, nel Parco del Serengeti, in Tanzania. Una leonessa isolata sente un ruggito che non riconosce e ne deduce che debba esserci un intruso nel suo territorio. Si ferma per decidere se attaccarlo o no, sarebbe uno scontro alla pari, uno contro uno, e potrebbe anche avere la peggio. Per questo prosegue e raggiunge il suo gruppo per essere così al sicuro. Alcuni giorni dopo sente ancora un ruggito e poi un coro  di ruggiti sovrapposti, nessuno dei quali le è famigliare e ne deduce che ci sono tre intrusi. Questa volta però è in compagnia di quattro leonesse del suo gruppo. Loro sarebbero quindi in cinque contro tre. A questo punto una leonessa, la leader del gruppo incomincia ad avvicinarsi al punto di origine dei ruggiti, una macchia di alberi ad alcune centinaia di metri di distanza. Dapprima cautamente e poi quando le altre la raggiungono, sempre più rapidamente, si lancia poi alla carica, a capofitto, fra gli alberi. Nella macchia però non c’è traccia di intrusi. I ruggiti provenivano da un altoparlante sistemato da McComb per realizzare il suo esperimento.

E’ Brian Butterworth, docente di neuropsicologia all’University College di Londra, che descrive questo esperimento e osserva: “La migliore spiegazione del comportamento della leonessa leader è che essa abbia enumerato  i ruggiti percepiti e le leonesse del suo gruppo, e abbia fatto un raffronto tra i due numeri. Questo è un fatto notevole, perché il numero degli intrusi viene ricavato dal suono che essi producono (perché non sono visibili), mentre il numero dei difensori  si ricava da un altro senso o da altri sensi, fra cui la vista, e viene poi immagazzinato nella memoria della leonessa. Perciò essa deve astrarre la numerosità dei due insiemi – intrusi e difensori – indipendentemente dal senso con cui li percepisce e poi raffrontare queste numerosità astratte”.

Un dubbio: sono soltanto le leonesse a saper contare o anche i loro compagni? Forse, i leoni, più pigri per natura, lasciano questo impegno alle leonesse?

4.   Ratti astuti  e numerati

Anche i ratti hanno un senso del numero, come dimostrarono alcuni esperimenti condotti negli anni cinquanta e sessanta. All’inizio gli esperimenti non erano molto convincenti.  Uno, descritto da Keith Devlin, è particolarmente curioso e pur essendo un fallimento sulla verifica delle abilità numeriche dei ratti, dimostra però la loro astuzia. I ratti venivano posti in un corridoio sul quale si aprivano numerose porticine, tutte chiuse tranne una. In una fila di dieci porte, ad esempio, solo la numero 7 si poteva aprire e dietro era nascosta una certa quantità di cibo. I ricercatori volevano vedere se, dopo un certo numero di tentativi, i ratti avrebbero imparato a ignorare le prime sei porte, puntando direttamente alla 7. L’esperimento all’apparenza fu un grande successo. Dopo un certo numero di prove, gli animali si precipitarono a gran velocità fino alla porta 7 e poi l’aprivano per arrivare al cibo. Un’analisi più accurata condotta sulle videoregistrazioni degli esperimenti esaminate al rallentatore, rivelò che i ratti, mentre sfrecciavano lungo il corridoio, assestavano un leggero colpo a ogni porta con la zampetta posteriore, finché non trovavano quella che cedeva. A quel punto si bloccavano dov’erano e si precipitavano sul cibo. “L’insegnamento che i ricercatori trassero dalla prova – commenta Devlin – fu di stare molto attenti nell’interpretare le proprie osservazioni: non sempre le cose sono quelle che sembrano”. Successivi esperimenti, condotti con maggior attenzione da Francis Mechner e da altri studiosi di psicologia animale, hanno dimostrato che i ratti hanno un preciso “senso del numero”. I ratti vennero messi in una gabbia chiusa dove si trovavano due tasti A e B. Per ottenere il premio, una piccola razione di cibo, i ratti dovevano premere il tasto A un certo numero di volte e solo in seguito potevano passare al tasto B e ottenere la ricompensa. Se sbagliavano la sequenza prevista, invece del cibo c’era una penitenza, ricevevano ad esempio una leggera scossa elettrica oppure si spegneva la luce. Dapprima i ratti si resero conto che dovevano premere più volte il tasto A e una sola volta il tasto B. In seguito riuscirono a precisare meglio il “più volte” e dopo un certo addestramento riuscirono a premere il tasto A un numero di volte corrispondente al numero “n” scelto dall’addestratore. Non sempre però il numero “n” era preciso ma approssimato. Se, ad esempio,  veniva richiesto di premere il tasto A 4 volte, la loro risposta poteva  variare da 3 a 7. L’esperimento venne ulteriormente precisato introducendo un altoparlante che emetteva una sequenza di suoni. In questo modo si arrivò alla conferma della capacità dei ratti di saper riconoscere il numero  approssimativo di oggetti, di suoni, di bocconi di cibo o di altre azioni. Questa capacità di generalizzare da modalità di percezione o di azione differenti è un elemento importante – osserva Dehaene – di quello che chiamiamo il “concetto di numero”. Negli animali gli esperimenti di generalizzazione di questo concetto di numero, presentato in modi diversi, sono ancora scarsi.

5.   La matematica dei nostri cugini scimpanzé

Ai, nata in Africa nell’ottobre del 1976.
Oggi vive al Kyoto University Primate Research Institute

Quali sono i limiti dell’intelligenza matematica degli animali? A quale livello possono arrivare le loro capacità? Per rispondere a queste domande vediamo come si comportano gli scimpanzé, i nostri parenti più prossimi e con il cervello più simile al nostro. Molti esperimenti hanno confermato che gli scimpanzé hanno una certa abilità nell’aritmetica elementare. Uno dei più celebri è Ai, addestrata da Nobuyuki Kawai e Tetsuro Matsuzawa del Kyoto University Primate Research Institute. Ai è in grado di riconoscere i numeri arabi, da 0 a 9, corrispondenti a un certo numero di oggetti ed è in grado di metter tali numeri in ordine crescente o decrescente.

Sheba lo ha superato, raggiungendo, dopo un lungo periodo di addestramento, risultati sorprendenti. E’ in grado infatti non soltanto di addizionare oggetti indicando la somma con simboli astratti, cioè numeri arabi, ma di operare direttamente con simboli numerici indicando la somma con il simbolo corrispondente. Sheba opera quindi con simboli astratti, senza dover passare attraverso insiemi di oggetti concreti. “Mai un animale – osserva Dehaene – si era tanto avvicinato alle capacità di calcolo simbolico dell’uomo”.

Tra le scimmie, uno dei “geni” più recenti si chiama Kanzi. E’ una scimmia che appartiene alla specie dei bonobo, una specie che vive nell’Africa centrale, nei pressi delle sorgenti del Congo. Dalla nascita vive presso il centro di ricerca sul linguaggio dell’Università della Georgia, negli Stati Uniti. Mentre i ricercatori cercavano di insegnare il linguaggio umano alla madre, Matata, Kanzi, osservando e ascoltando, ha imparato più di cento termini. Ora riesce a comunicare con i ricercatori, “parla” con loro anche senza vederli, anche attraverso il telefono. Kanzi, inoltre, non riconosce soltanto parole dal significato “concreto”, ma anche concetti “astratti” come “bene” e “male”.

Osserva Devlin: “Occorre ricordare che ci vollero molti anni di addestramento lento e faticoso per raggiungere il tipo di prestazione ottenuto da Sheba e da varie creature – scimpanzé, scimmie, delfini e altri animali – in esperimenti di questo genere. Insegnare agli animali il legame esistente fra simboli astratti e insiemi di oggetti è un processo lungo e difficile. La loro prestazione non è mai perfetta ed è comunque limitata a insiemi molto piccoli”.

6.   Fenomeni da baraccone, o da tv

Hans l’astuto, il cavallo sapiente

Animali “sapienti”, portati in  giro ad esibirsi in circhi o teatri, ce ne sono sempre stati. Sono animali in grado di compiere calcoli sorprendenti,  grazie però a qualche trucco, anche involontario, nei rapporti con l’addestratore.

Esemplare è il caso un cavallo tedesco, Hans l’astuto, Der kluge Hans, addestrato per più di dieci anni dal suo padrone, Wilhelm von Osten, insegnante di matematica e addestratore di cavalli. Hans sembrava in grado di risolvere problemi di matematica e di compitare parole.

Siamo all’inizio del secolo scorso e il cavallo si esibiva in teatri e fiere oppure nel cortile della casa di von Osten, di fronte a una folla entusiasta per le sue prodezze. Il pubblico poneva un problema di aritmetica, ad esempio: “Quanto fa 4 + 6?”. Hans rispondeva battendo con uno degli zoccoli anteriori una serie di colpi pari al risultato dell’addizione. E le capacità matematiche di Hans sembravano ancora più strabilianti. Sembrava in grado infatti di operare anche con le frazioni, ad esempio di sommare 2/5 e 1/2. Dava la risposta battendo prima 9 colpi e poi 10.

Nel 1904 venne istituita una commissione d’inchiesta, presieduta da un eminente psicologo, Carl Stumpf, una commissione voluta dallo stesso proprietario del cavallo, convinto e probabilmente in buona fede, che Hans  fosse veramente, fra i cavalli, l’Einstein della matematica. Dopo un esame lungo e approfondito, la commissione dovette concludere che non c’erano trucchi nelle esibizioni del cavallo. Qualcuno però non era convinto dei risultati dell’inchiesta. Si chiamava Oskar Pfungst ed era uno studente del presidente della commissione. Con nuovi accurati esperimenti dimostrò che Hans riceveva dei segnali dal proprietario, oppure dalla persona tra il pubblico che gli poneva una domanda. Segnali che indicavano al cavallo il momento in cui doveva smettere di battere la zampa. Poteva essere semplicemente un battito di ciglia, un movimento del capo o delle narici, corrispondenti a un aumento della tensione in chi lo interrogava, quando il cavallo si avvicinava alla risposta.

.  Conclusioni

Quali sono i limiti dell’intelligenza matematica degli animali? A quale livello possono arrivare le loro capacità? Sono domande che abbiamo già espresso e per le quali non sembra che a tutt’oggi ci siano risposte convincenti. Lo studio dell’intelligenza animale è ancora molto approssimativo.

Nuovi raffinatissimi  strumenti,  disponibili soltanto  da  pochi anni,  come la camera a positroni, consentono di   visualizzare   l’attività   cerebrale   e   avviare    nuovi rivoluzionari  studi  sul  cervello,  arrivando, tra l’altro, a localizzare anche i  circuiti neurali della matematica. Ma questi studi sono soltanto all’inizio sull’uomo, e molto meno avanzati per gli animali.

Scrive Dehaene: “Noi siamo dotati di una rappresentazione mentale delle quantità molto simili a quella di un ratto, un piccione o una scimmia. Proprio come loro possiamo, senza fare ricorso al linguaggio, numerare rapidamente collezioni di oggetti sonori o visivi, addizionarli e confrontarne la cardinalità. Queste capacità, ereditate dalla nostra storia evolutiva, non ci permettono soltanto di fare una stima rapida della grandezza di un insieme. Secondo me entrano ugualmente in gioco quando siamo in grado di capire numeri pronunciati o scritti in forma simbolica, per esempio in cifre arabe. In breve, l’intuizione delle grandezze numeriche che ereditiamo dall’evoluzione avrebbe il ruolo di un germe che favorirebbe lo sbocciare della matematica più avanzata”.

Devlin invita a distinguere fra l’aritmetica degli animali e la matematica dell’uomo: “Il pensiero matematico – osserva – sembra essere esclusivo degli esseri umani”. Inoltre “La matematica non ha  a che fare con i numeri, ma con la vita. Riguarda il mondo in cui viviamo. Le idee. Ben lungi dall’essere opaca e sterile come tanto spesso la si dipinge, essa trabocca di creatività”.

“SE  PENSAVAMO  CHE GLI ANIMALI  NON AVESSERO NULLA  A  CHE  FARE  CON LA  MATEMATICA….CI DOVREMMO  PROPRIO  RICREDERE!”

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I regoli 18 gennaio 2010

Posted by Alessandra in Strumenti di calcolo.
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I regoli sono un semplice sussidio per introdurre il bambino nel mondo dei numeri e del calcolo aritmetico.
I regoli hanno diverso colore a seconda della lunghezza.

Il cubetto, che ha il lato di 1 centimetro è solitamente di colore bianco e  rappresenta l ’unità , gli altri ne sono multipli.


Lo scopo per cui vengono utilizzitati, solitamente nella prima classe della scuola primaria, è quello di imparare ad ordinare e confrontare i numeri partendo da semplici esempi concreti.

Ecco un esempio di operazione aritmetica eseguita con il sussidio dei regoli, per visualizzare in maniera concreta e corretta le differenti quantità ed i valori cardianali, che indicano cioè la numerosità dei numeri.

Di seguito inserisco gli esempi di alcune esercitazioni che è possibile effettuare con i regoli.

L’esrcitazione richiede al bambino di combinare i regoli per raggiungere una determinata quantità.

Il bambino deve colorare i regoli in maniera corretta in riferimento al numero che rappresentano.

L’unione di regoli differenti messi vicino avvicina il bambino al concetto di addizione.

Grazie all’utilizzo dei regoli per il bambino è possibile sperimentare in modo concreto, ‘toccando con mano’, il mondo dei numeri e delle operazioni aritmetiche (addizione e sottrazione).

Il Cubo di Rubik 18 gennaio 2010

Posted by Alessandra in Giochi matematici.
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(da wikipedia, l’enciclopedia libera)

Un cubo di Rubik

Il Cubo di Rubik, o Cubo magico (Rubik-kocka in ungherese) è un celebre gioco di logica e rompicapo inventato dal professore di architettura e scultore ungherese Ernő Rubik nel 1974. Chiamato originariamente Magic Cube (Cubo magico) dal suo inventore, il rompicapo fu rinominato in Rubik’s Cube (Cubo di Rubik) dalla Ideal Toys nel 1980 e nello stesso anno vinse un premio speciale dalla giuria dello Spiel des Jahres in Germania, unico solitario premiato nella storia del premio. È il giocattolo più venduto della storia, con circa 300 milioni di pezzi venduti, considerando anche le imitazioni.

Nella primavera del 1974, mentre si trova nella sua casa a Budapest, capitale dell’Ungheria, Ernő Rubik crea il primo prototipo del cubo di Rubik. Questo differiva lievemente da quello odierno: era monocolore, di legno e con gli angoli smussati. L’anno successivo, dopo le modifiche che lo porteranno a essere tale e quale a quello di oggi, Rubik brevetta il cubo e affida alla produttrice di giocattoli Polithechnika il difficile compito della distribuzione del gioco matematico battezzato Magic Cube. Bisognerà comunque aspettare il 1977 per ottenere la prima vendita dell’allora sconosciuto rompicapo.

Il Cubo di Rubik presenta 9 quadrati su ogni faccia, per un totale di 54 quadrati. Solitamente i quadrati differiscono tra loro per il colore, con un totale di 6 colori differenti. Quando il Cubo di Rubik è risolto, ogni faccia ha solo quadrati dello stesso colore. Il rompicapo ha celebrato il 25esimo anniversario nel 2005, anno nel quale è stata presentata una versione speciale del cubo, con il logo ufficiale – Rubik’s Cube 1980-2005 – stampato su un quadrato di colore bianco.

Il rompicapo è disponibile in 4 versioni differenti: 2×2×2 (Pocket Cube), 3×3×3 (Rubik’s Cube), il 4×4×4 (Rubik’s Revenge), e il 5×5×5 (Professor’s Cube). Recentemente, l’inventore greco Panagiotis Verdes ha brevettato un metodo di creazione del rompicapo per superare la versione 5×5×5, fino ad arrivare a 11×11×11. Questi modelli, che includono un meccanismo migliorato per le versioni 3×3×3, 4×4×4, e 5×5×5, sono adatti per risolvere velocemente il rompicapo mentre le tradizionali versioni del cubo superiori a 3×3×3 tendono a rompersi facilmente. Nel giugno del 2008 sono entrati in vendita i modelli 6x6x6 e 7x7x7. Vi è inoltre una variazione del cubo di Rubik chiamata Sudokube: come il nome suggerisce, è una combinazione del cubo con il popolare gioco di logica Sudoku.

Lo scopo del gioco è di risalire alla posizione originale dei cubetti portando il cubo ad avere per ogni faccia un colore uguale. Il cubo, nella versione 3x3x3, può assumere ben 43.252.003.274.489.856.000 di combinazioni possibili di cui solo una è quella corretta. Il cubo, nella versione 2x2x2, può assumere 3.674.160 di combinazioni possibili, di cui solo una è quella corretta.

Fu inizialmente progettato da Rubik a scopi didattici e all’inizio si diffuse solo tra i matematici ungheresi, interessati ai problemi statistici e teorici che il cubo poneva. Qualche anno più tardi un matematico inglese scrisse su quest’oggetto un articolo che portò la sua fama fuori dai confini dell’Ungheria. Nel giro di pochi anni, il cubo di Rubik invase i negozi europei ed americani, diventando il rompicapo più venduto della storia. Nel solo 1982 ne furono venduti oltre 100 milioni di pezzi e Rubik divenne il cittadino più ricco del suo paese.

Metodi risolutivi

Una persona vestita da cubo di Rubik a Lucca Comics & Games 2008

Il più intuitivo metodo risolutivo è il metodo a strati. Consiste nella risoluzione strato per strato. Vi sono 7 passi da effettuare (croce, angoli primo strato, secondo strato, orientamento spigoli, orientamento angoli, permutazione spigoli, permutazione angoli). Questo metodo ha il vantaggio di dover memorizzare pochi algoritmi, ma non è adatto per lo speedcubing.

Il metodo Petrus, inventato da Lars Petrus, consta di 7 fasi: costruire il cubo 2×2×2, allargarlo a 2×2×3, orientare gli spigoli, completare 2 superfici, posizionare gli angoli, orientare gli angoli, posizionare gli spigoli. Ha il vantaggio di non disfare quasi mai la parte del cubo che si è già costruita.

Il metodo Fridrich, che prende il nome dalla sua inventrice, Jessica Fridrich, raggruppa secondo-terzo, quarto-quinto, sesto-settimo passaggio del metodo a strati in singoli passaggi. Esso è il metodo generalmente più veloce, ed il più usato dagli speedcuber professionisti. Implica la memorizzazione di 78 algoritmi solo per l’ultimo strato (PLL e OLL); è anche chiamato CFOP che sarebbe l’acronimo delle fasi in cui si divide: Cross (croce), F2L (primi 2 strati), OLL (orientazione dell’ultimo strato) e infine PLL (permutazione dell’ultimo strato).

Vi sono, inoltre, altri metodi come il corner first e lo ZB (il più complesso in assoluto con più di 800 algoritmi)

Alcuni metodi non sono utili allo speedcubing, ma al blindfold cubing, ovvero la risoluzione del cubo da bendati. Il risolutore impara a memoria il cubo e successivamente si benda e lo risolve senza più guardarlo. La teoria di base per quasi tutti i metodi sta nello spostare, tramite algoritmi specifici, pochi pezzi alla volta del cubo, riuscendo così a tenere a mente l’ordine delle modifiche effettuate. Tra i più famosi metodi per il blindfold cubing risaltano quelli inventati da Stefan Pochmann: il metodo omonimo (per principianti del blindfold cubing) e il metodo M2/R2, decisamente avanzato, ma molto più rapido.

Numero minimo teorico di mosse sufficienti per la risoluzione

È il numero minimo di rotazioni singole che nella peggiore configurazione possibile in mano al miglior risolutore possibile sono sufficienti per riportare il cubo alla configurazione standard.

Nel 1982 David Singmaster e Alexander Frey ipotizzarono che il numero teorico minimo di mosse sufficiente per la risoluzione del cubo di Rubik, a partire da qualsiasi configurazione iniziale e tramite un apposito algoritmo, potesse essere intorno a venti. Nei primi anni ’80 Morwen Thistlethwaite, di professione informatico, riuscì a dimostrare con un calcolatore che era sempre possibile riordinarlo con meno di 52 mosse. Nel 2007, Dan Kunkle e Gene Cooperman (il suo professore), usando metodi di ricerca computerizzati, hanno dimostrato come una qualsiasi configurazione di un cubo 3×3×3 possa essere risolta in un massimo di 26 mosse. Nel marzo del 2008 Tomas Rokicki, matematico dell’università di Stanford, ha dimostrato che tale limite è riducibile a 25 mosse.

Record mondiali

Il record mondiale per la risoluzione nel minor numero di mosse durante una competizione appartiene al belga Jimmy Coll che ai Barcelona Open 2009 ha concluso in 22 mosse, superando così il precedente record di 27 dell’olandese Guus Razoux Schultz (2006)[17].

Minh Thai, studente vietnamita di Los Angeles, vinse il primo World Rubik’s Cube Championship 1982 il 5 giugno 1982 per la risoluzione del cubo di Rubik, impiegando 22.95 secondi.

I record del mondo sono:

  • Tempo singolo: 7.08 secondi realizzato da Erik Akkersdijk al Czech Open 2008.
  • Media 3 su 5: 10.07 secondi realizzato da Tomasz Zolnowski al Polish Open 2009 con i tempi 10.80 12.08 9.77 8.68 9.65 secondi.

Mentre i record italiani sono:

  • Media 3 su 5: 12.67 secondi realizzato da Massimiliano Iovane all’Obei Obei Open 2009 con i tempi: 12.93 13.28 11.81 16.55 11.75 secondi.

L’attuale campione del mondo è lo scozzese Breandan Vallance che ha vinto i recenti World Rubik’s Cube Championship 2009 che hanno avuto luogo dal 9 all’ 11 ottobre 2009 a Düsseldorf in Germania.

Un record opposto

Graham Parker, un muratore britannico di 45 anni, potrebbe essere il detentore del record opposto a quello di Erik Akkersdijk, avendoci messo 26 anni, per un totale di ben 27.400 ore dedicate a risolverlo. Aveva acquistato il cubo nel 1983 e da allora tale gioco ha preso il controllo della sua vita, facendogli perdere persino eventi importanti. A ritenere che probabilmente sia un record è la stessa associazione mondiale del cubo di Rubik.

Buon divertimento a chi si volesse cimentare nella risoluzione dell’enigma del Cubo di Rubik!

Matematica a scuola per l’autonomia, con particolare riguardo ai soggetti in difficoltà 18 gennaio 2010

Posted by Alessandra in Uncategorized.
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Autonomia, socializzazione e cultura sono, fra i diritti dei bambini, quelli alla cui realizzazione la scuola è chiamata in via istituzionale e tali diritti riguardano tutti i bambini, anche quelli in situazione di handicap. Anzi, la scuola è oggi per il bambino svantaggiato il luogo privilegiato (in molte realtà, l’unico) dove poter conquistare questi diritti. Soprattutto, tale conquista nella scuola avviene in una situazione di integrazione; essa dovrebbe riguardare quanto più possibile tutto l’insieme delle materie di insegnamento, dato che tutte quante sono ritenute in generale significative ai fini di una crescita globale della persona.

Tuttavia troppo spesso, di fronte ad un bambino con handicap mentale, si ritiene estremamente difficile, se non addirittura impossibile, proporre un itinerario di apprendimento in ambito logico-matematico. Anche se è vero che spesso questi bambini hanno difficoltà di astrazione, non ci sembra che questo giustifichi una rinuncia in tal senso, ma che piuttosto tale difficoltà possa offrire ulteriori stimoli verso una modalità diversa di insegnamento che parta appunto da tale consapevolezza. Pur senza negare o minimizzare gli ostacoli, infatti, riteniamo che sia fortemente da sostenere il diritto di ogni bambino ad un apprendimento nella misura massima possibile anche in questo settore, soprattutto considerando che, contrariamente a quel che molti credono ma come speriamo di dimostrare nel seguito di questa nota, il possesso di un certo livello di competenze di tipo matematico è prerequisito essenziale per la conquista di autonomia nella vita.

La conquista dell’autonomia è un obiettivo fondamentale per la crescita e per l’inserimento sociale della persona, in particolare del disabile. La legge quadro per l’assistenza, l’integrazione sociale e i diritti delle persone handicappate, legge 5/2/92 n. 104, ribadisce all’art. 12 che “l’integrazione scolastica ha come obiettivo lo sviluppo delle potenzialità della persona handicappata nell’apprendimento, nella comunicazione, nelle relazioni e nella socializzazione”. Naturalmente tali finalità, per essere raggiunte, hanno bisogno del concorso di tutte le discipline che intervengono nel corso degli studi, in quanto tutte hanno una valenza significativa ai fini della maturazione dell’individuo e del raggiungimento della massima autonomia possibile per ciascuno.

Cosa significa essere autonomi? Una prima risposta a questa domanda può essere data in termini di capacità e comportamenti:

• saper curare la propria persona ed i propri luoghi di vita,

• saper comunicare (in forme diverse e con strumenti diversi),

• sapersi orientare,

• saper usare il denaro,

• saper usare i servizi pubblici,

• saper chiedere aiuto,

• saper …

Il concetto di autonomia a cui facciamo qui riferimento è da intendersi in senso generale, sia come abilità di osservazione e di consapevolezza delle proprie abilità e dei propri limiti, che come capacità di muoversi nel mondo esterno e di entrare attivamente in rapporto con persone o cose.

Anche se non tutti ne sono consapevoli, la conoscenza di alcuni concetti matematici è un prerequisito fondamentale per lo sviluppo dell’autonomia, sia sul piano dei comportamenti, che su quello più generale.

Dunque esiste un “diritto” alla matematica valido per ogni persona, anche per coloro che, a causa di disabilità intellettive, presentano difficoltà in attività che richiedono astrazione, la quale a sua volta è di fatto una componente essenziale della conquista di certi concetti matematici.

Il ruolo della matematica nell’educare all’autonomia è chiaramente esplicitato nei programmi della scuola elementare: “l’educazione matematica contribuisce a formare le abilità necessarie per interpretare [la realtà] criticamente e per intervenire consapevolmente su di essa”.

Un approccio simile è presente nell’introduzione ai materiali per un nuovo curricolo di Matematica predisposti dalla Unione Matematica Italiana: “L’educazione matematica deve contribuire a una formazione culturale del cittadino, in modo da consentirgli di partecipare alla vita sociale con consapevolezza e capacità critica […] In particolare l’insegnamento della matematica deve avviare gradualmente, a partire da campi di esperienza ricchi per l’allievo, all’uso del linguaggio e del ragionamento matematico, come strumenti per l’interpretazione del reale, non unicamente come bagaglio di nozioni” (Unione Matematica Italiana, 2001).

Questo rende naturale la scelta di educare alla matematica attraverso obiettivi e attività che abbiano una diretta ricaduta in termini di intervento sulla realtà e quindi di acquisizione di autonomia. Riteniamo che tale opzione debba essere il criterio discriminante per la scelta di contenuti e metodi di insegnamento della matematica in presenza di alunni svantaggiati; solo condividendo tale considerazione è possibile coerentemente utilizzare attività e verifiche in un contesto di autonomia, per lo sviluppo e la valutazione delle abilità matematiche.

Bisogna, come è ovvio, tenere presente che i concetti matematici “passano” anche in attività generalmente non ritenute di tipo matematico e hanno valenza anche al di là dell’area strettamente riferita alla Matematica.

Per fare due esempi banali: riconoscere, denominare, classificare oggetti (anche secondo criteri vari e fantasiosi), sono evidenti obiettivi matematici; d’altra parte, l’attraversamento di una strada (a parte le considerazioni relative ad eventuali problemi di motricità e coordinamento) richiede di saper valutare distanze, velocità, verso e direzione, così come l’avvitare una vite o una lampadina coinvolge i concetti di rotazione e di direzione orizzontale-verticale e richiede valutazioni di lunghezza e larghezza.

Molte competenze matematiche sono raggiungibili attraverso attività diverse non di tipo matematico, magari legate alla lingua, alle scienze o ad alcune applicazioni pratiche. Ci pare importante che l’insegnante (anche e forse soprattutto l’insegnante specializzato) abbia coscienza della valenza matematica di tali attività, anche se, come è naturale soprattutto in presenza di handicap, al bambino sarà spesso sufficiente una conoscenza pratica dei concetti in questione, legata al loro uso “in atto” e non si richiederà una conoscenza teorica esplicita.

Va sempre privilegiato l’approccio per problemi, occorre sempre ricordare che “le teorie [matematiche] nascono e crescono su cantieri di problemi, ed i concetti si formano intorno alle questioni che essi devono risolvere, ai ragionamenti nei quali essi intervengono” (CREM 1999, p. 15). Il ruolo centrale che i programmi di matematica dell’attuale scuola dell’obbligo in Italia (in modo più esplicito quelli per la Scuola Elementare, più recenti) affidano all’insegnamento per problemi invita a partire appunto dalla soluzione di problemi concreti per arrivare ad appropriarsi dei concetti matematici.

Questo tipo di approccio alla matematica è sicuramente più vicino alle caratteristiche di apprendimento degli alunni con deficit; esplorare e risolvere problemi costituisce comunque per tutti gli studenti un’attività fondamentale per costruire nuovi concetti e abilità, per arricchire di significati concetti già appresi e per verificare l’operatività degli apprendimenti realizzati in precedenza.

Ricordiamo la celebre affermazione di Polya (1979, p. XI), secondo cui “risolvere problemi è una impresa specifica dell’intelligenza e l’intelligenza è il dono specifico del genere umano”. Dunque, la sfida posta da un problema è il modo migliore di fare appello all’intelligenza che ogni bambino possiede, per aiutarlo a sviluppare le proprie doti.

Vale la pena osservare che il termine “problema” nella prassi didattica ha assunto una connotazione ambigua. Solitamente infatti i testi scolastici designano con questo nome una serie di esercizi (standard, spesso molto simili fra loro, costruiti in serie). Invece, secondo la classica definizione dovuta a Kanitza (1973), psicologo di orientamento gestaltista, “un problema nasce quando un essere vivente, motivato a raggiungere una meta, non può farlo in forma automatica o meccanica, cioè mediante un’attività istintiva o attraverso un comportamento appreso. L’esistenza di una motivazione e la presenza, nella situazione problematica, di un impedimento che non permette l’azione diretta creano uno stato di squilibrio e di tensione nel campo cognitivo di un individuo spingendolo ad agire per ricostruire l’equilibrio”.

Così, per superare l’ambiguità, si usa distinguere fra “situazioni problematiche” (i problemi nel senso di Kanitza) ed “esercizi” (quelli normalmente proposti dai libri di testo).

La ricerca in didattica ha dimostrato l’inutilità e l’irragionevolezza della pratica di semplice ripetizione di esercizi per promuovere un apprendimento meccanico che possa prescindere dalla capacità di astrazione del soggetto. Tale pratica si è dimostrata infatti inefficace nel confronto con la realtà e nella verifica a medio-lungo termine, scontrandosi con la ridotta capacità di memoria di questi bambini. Gli esercizi sono sì indispensabili per consolidare e rafforzare un apprendimento, per trasformarlo in automatismo, ma l’acquisizione dell’apprendimento deve avvenire in altro modo, deve coinvolgere il ragazzo in una scoperta autonoma.

L’approccio per problemi, soprattutto quando nasce da situazioni concrete, è motivante per i bambini e mobilita maggiori capacità, stimolando al tempo stesso l’attenzione, l’uso di competenze precedentemente acquisite, la richiesta di collaborazione fra gli alunni in una situazione anche emotivamente coinvolgente. Proporre un problema significa infatti stimolare, interessare un bambino, lanciargli una sfida, spingerlo verso una ricerca personale che utilizzi le conoscenze già possedute per produrre nuove competenze.

È allora ovvio che in questa opera il bambino farà ricorso a tutte le proprie doti ed abilità (quali e quante esse siano) per superare le difficoltà poste dal problema. In questo dunque l’handicap non è più un ostacolo; di fronte ad un problema ogni bambino è chiamato a reagire esattamente come tutti gli altri, anche se ad un livello di conoscenza diverso. Ricordiamoci infatti che un problema esclude per sua natura la risposta immediata, la soluzione pronta; si ha un problema quando il bambino deve lavorare sulla richiesta per arrivare ad una soluzione.

È naturalmente vero che un problema può non essere tale per tutti, ma può esserlo per alcuni mentre per altri è soltanto un esercizio più o meno difficile. Tuttavia un problema deve sempre risultare interessante, per spingere il bambino a risolverlo; ecco allora che i Programmi per la Scuola Elementare richiedono di partire da “situazioni problematiche concrete che scaturiscono da esperienze reali del fanciullo”3. Solo un coinvolgimento in prima persona può infatti far scattare la molla della necessità personale di risolvere un problema, la spinta che porta a superare tutte le difficoltà intrinseche per arrivare ad una conclusione. Questo è tanto più vero nel caso di handicap mentale, in quanto maggiori sono tali difficoltà e dunque essenziale deve essere lo stimolo soggettivo alla soluzione.

Nei confronti del bambino con difficoltà, infatti, andranno tenuti presenti sia l’aspetto cognitivo che quello affettivo-emozionale. Se il primo richiede nelle proposte didattiche una particolare semplificazione dei passaggi per aumentarne la comprensibilità, e un approccio estremamente concreto ed operativo, il secondo invece esige la scelta di situazioni e di modalità coinvolgenti e rassicuranti che aiutino il bambino ad avere fiducia nelle sue possibilità ed abilità e ad esprimere il meglio di sé.

Avrà tale funzione allora la scelta, per l’ambientazione delle attività, di situazioni ludiche e di materiali legati alla vita quotidiana (la casa, il pasto, i propri giocattoli, ecc.) o di favole ricorrenti nell’uso comune e quindi ben conosciute dai bambini.

Vogliamo rilevare infine come proprio attraverso la risoluzione dei problemi l’insegnante ha la possibilità di conoscere il livello di apprendimento di ogni singolo bambino e quindi individuare gli obiettivi a lui adatti. Nella risoluzione dei problemi si ha inoltre la possibilità di mettere in pratica una organizzazione del lavoro che, attraverso l’apprendimento per prove ed errori, porti ad una rivalutazione anche di questi ultimi e punti alla collaborazione e non alla competizione.

Una tale organizzazione del lavoro all’interno della classe e con la classe, mentre offre maggiori opportunità di socializzazione al bambino con handicap, richiede una modalità di insegnamento necessariamente più creativa e più attenta alle esigenze di tutti gli allievi presenti. Nella stessa attività infatti possono essere fatte richieste diverse al ragazzo in difficoltà e a quelli normodotati, ma anche fra questi ultimi, in modo da rispondere a peculiari esigenze o da valorizzare doti dei singoli.

Come si intuisce, è a questo punto possibile avanzare ad ogni allievo una richiesta “personalizzata”, relativa al livello per lui più adatto. Lavorando in questo modo, fra l’altro, una larga parte delle attività possono essere svolte dal disabile insieme alla classe in cui è inserito. Potranno certo esserci dei momenti individuali di consolidamento delle acquisizioni, vissuti singolarmente insieme con l’insegnante di sostegno o talvolta con la stessa insegnante di classe; questi saranno appunto finalizzati al consolidamento o all’approfondimento (al suo livello) di quanto costruito insieme ai compagni; in questo senso dunque l’integrazione non viene negata, ma rafforzata e resa ancora più “a misura” del soggetto coinvolto.

Per sviluppare un processo di apprendimento in ambito logico-matematico per l’alunno svantaggiato (ma certo non soltanto per lui) sarà necessario partire dalla valutazione delle sue abilità di partenza ed operare nel rispetto dei suoi tempi e nella consapevolezza che il programma non dovrà essere tanto legato alla ripartizione nei cicli o nelle singole classi, quanto ad un progetto globale di crescita nelle diverse aree tematiche.

La scelta degli obiettivi e delle attività da proporre in funzione di essi richiede infatti per questi bambini, a nostro parere, innanzitutto una scelta di priorità: l’individuazione cioè di quali siano gli obiettivi “importanti” e indispensabili e quali no, e ancora quali abilità non possedute possano essere aggirate nella salvaguardia del risultato complessivo.

Naturalmente quella sopra suggerita non vuole essere una separazione rigida di obiettivi o concetti matematici in relazione gerarchica, poiché essi si intersecano quasi con continuità; ci potranno essere bambini che raggiungono livelli alti in alcuni e non in altri e viceversa. Una tale distinzione può essere utile all’insegnante al fine di proporre ad ogni bambino un cammino per raggiungere il livello massimo per lui, con la consapevolezza che il raggiungimento di ognuno di questi livelli ha di per sé una validità e che ogni bambino ha comunque diritto a progredire il più possibile su questo itinerario all’interno della classe.

Ugualmente sarà necessario all’insegnante comprendere come una stessa abilità possa essere presente e quindi valutata a diversi livelli, tenendo anche conto di particolarità legate ai diversi tipi di handicap o alle esigenze dei singoli individui. Ci permettiamo di fare ancora due esempi: volendo valutare la capacità di misurare e la conoscenza di semplici figure geometriche si potrà proporre un’attività di costruzione di una cornice per la foto della classe, con l’attenzione di graduare tale attività in funzione dell’abilità manuale posseduta dal soggetto (dal semplice ritaglio del supporto di cartone al taglio e montaggio di bacchette di legno); volendo valutare il possesso delle abilità di calcolo si potranno proporre in forma attiva semplici problemi di compravendita (dall’acquisto della merenda al bar della scuola all’organizzazione di una festicciola), i quali si prestano bene ad essere sviluppati su differenti livelli o arricchiti anche di concetti di economia.

È forse opportuno sottolineare come (secondo quanto sopra esemplificato) la valutazione debba avvenire all’interno delle attività della classe. Se l’insegnante saprà impostare il suo lavoro con la consapevolezza che alla base di molte competenze di autonomia sta la conquista di opportune abilità matematiche, una valutazione delle competenze possedute dai bambini in termini di autonomia offrirà in maniera naturale una lettura anche delle competenze matematiche, coinvolgendo l’allievo stesso.

La valutazione potrà così essere anche per lo studente disabile occasione di autovalutazione, come scoperta su se stesso, e dunque reale strumento di crescita personale. A. Canevaro, respingendo l’idea di una valutazione speciale per l’alunno in situazione di handicap, sottolinea l’esigenza che la valutazione contenga elementi utili per sviluppare un’autovalutazione, aiutando l’alunno a crescere nella consapevolezza della propria situazione. Per questo motivo “la valutazione… per chi portatore di handicap… dovrebbe essere fatta due volte e non una volta sola” (Canevaro, 1995): una volta in presenza delle migliori condizioni di adattamento, un’altra senza “appoggi” e accorgimenti particolari; in tal modo il ragazzo potrà essere aiutato a comprendere quale possa essere il proprio rendimento con i supporti adeguati o senza di essi, promuovendo in tal modo il suo inserimento sociale.

Naturalmente, per giungere ad una autovalutazione, è necessario che gli obiettivi siano dichiarati e condivisi, e siano anche oggettivamente riferibili a situazioni di comune ed agevole lettura. Se questo è relativamente facile da comprendere ad esempio per la lingua italiana, può invece sembrare più difficile per la matematica. L’insegnante risulterà avvantaggiato in tale valutazione se la progettazione delle attività sarà effettuata evidenziando in uno schema di osservazione le singole competenze matematiche che possono essere chiamate in causa da diverse proposte operative: potrà così leggere al termine di essa le abilità possedute dal bambino. Per un esempio di scheda di osservazione si veda (Contardi, 1992), mentre un esempio concreto e sperimentato di un’attività ai fini di valutare le competenze matematiche di ingresso degli alunni di una classe prima media si trova in (Miele et al., 1999).

Non sono pochi in letteratura gli esempi che illustrano i vantaggi della integrazione, con tutte le implicazioni di insegnamento reciproco, legate al concetto stesso di Zona di Sviluppo Prossimale (Vygotskij L.S., 1983).

Molte delle attenzioni e modalità che abbiamo evidenziate come particolarmente utili nel favorire l’apprendimento, sono comuni ad ogni insegnamento ed estensibili più in generale al processo di integrazione scolastica degli alunni con handicap. Esse infatti si rivelano utili per un insegnamento che si voglia rivolgere al singolo allievo nella sua unicità, per favorirne la crescita secondo i ritmi e i percorsi che gli sono propri.

L’autonomia personale è una conquista per ogni ragazzo e dunque è evidente come le attività che si possono impostare secondo le modalità sopra indicate sono significative e utili per tutti. Una volta di più bisogna riconoscere che i vantaggi dell’integrazione illuminano angoli insospettati: perfino la matematica, “lo spauracchio, l’incubo più terribile del popolo studentesco italiano” (Piochi, 1998).

Il regno della matematica: da Paperino a Enzensberger 18 gennaio 2010

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(dall’articolo di Elena Paparelli)

Lettera matematica, la prestigiosa rivista che ha tredici anni di vita, è arrivata a festeggiare il suo cinquantesimo numero. Ed è uscita, per celebrare l’evento (non propriamente trascurabile, per una rivista che si occupa esclusivamente di cultura matematica), con un numero doppio dedicato ai grandi intellettuali matematici del Novecento, per sottolineare la vitalità e l’attualità di questa scienza.
Operazione intelligente escogitata dalla redazione per mostrare come «alla fine sono sempre le persone, uomini e gruppi di donne e di uomini che – con le loro idee – danno senso ad ogni forma di cultura e ne vengono prima».


La scelta si è concentrata su intellettuali matematici e non solo dimostratori di teoremi. Dunque, anche e soprattutto scrittori e pensatori che hanno avuto un ruolo fondamentale per la cultura matematica, secondo un’operazione culturale che, contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare, sfugge a schemi prefissati.

Non bisogna stupirsi, così, se ritroviamo Musil, Von Neumann, Queneau, Godel, Borges, Thom, Kripke, Gardner, Russell, per citarne alcuni.
La matematica è umanesimo, ribadisce sempre il matematico Piergiorgio Odifreddi, e dunque è fatta anche di paradossi, giochi, enigmi.

Come il discorso sulla letteratura, così quello sulla matematica ruota tutto intorno al solito concetto: l’opportunità, cioè, di rendere divertenti degli artifici meccanici, pure necessari all’apprendimento, che sono solo una prima semplice tappa per intraprendere un percorso personale di conoscenza che porta a scoprire quanto possa essere creativa e appagante anche una disciplina sommamente astratta come la matematica, che con i numeri puri e duri è chiamata a confrontarsi.

Sul tema della matematica, come molti sapranno, è stato tirato in ballo anche Paperino con un brillante cortometraggio dal titolo originale di Donald Duck in Mathmagic Land con la versione a fumetti pubblicata in Italia su Topolino (libretto) n.233, sull’Albo della Rosa n.516 e sul numero 12 di Paper Fantasy.
Ma cartoni e fumetti a parte, il problema della matematica e della sua possibilità divulgativa è stato ed è evidentemente quello di non essere facilmente comunicabile con le immagini.
Il disegno e l’illustrazione, che tanto gioverebbero a noi, soggetti particolarmente inclini a non mantenere, per un periodo sufficientemente lungo di tempo, una qualche forma di concentrazione, mal si presta, infatti, ad una disciplina che nel ragionamento logico, pulito, rigoroso, senza fronzoli, trova la sua più stringente rappresentazione.
Se, infatti, studiare la geografia astronomica passando in rassegna le immagini spettacolari dei pianeti, oppure un teorema di fisica stampandoci in testa rappresentazioni grafiche dei più svariati esperimenti, ci aiuta ad imprimere nella mente, con il potere forte della sintesi, una concatenazione di pensieri e di passaggi (che altrimenti dovremmo ricostruire quantomeno con sforzo), la matematica è invece fatta d’idee pure, e mal si sposa con il potere evocativo della grafica.
Di qui, lo sconforto e la paura di fronte all’astrazione, la difficoltà di coglierne il lato poetico, magico, favoloso.
Di qui, il timore nel mettersi in gioco, la paura di manipolare una materia così sfuggente e così poco disponibile ad essere visualizzata.


Copertina del laser disc giapponese

Eppure, ed è l’idea vincente che sembra suggerire questo 50simo numero di Lettera Matematica, si può tentare un approccio alla disciplina da un punto di vista quantomeno umanistico, andando a rintracciare, per esempio, i letterati che hanno usato strutture matematiche addirittura nelle loro opere letterarie.
Perec, a conferma di ciò, diceva: «Je ne pense pas, je cherche de mots», che tradotto significa «io non penso, cerco parole», presupponendo così una qualche struttura pre-esistente secondo logiche definite semplicemente da scoprire.
E, a ben guardare, nelle opere di Perec è celata davvero una struttura matematica messa a sorreggere una perfetta archittettura della parola, che chiunque è chiamato a svelare, lasciandosi affascinare da questo incastro perfetto fra linguaggio e logica.

un fotogramma del cartoon

Parole e numeri: la conquista dell’astrazione è stata da sempre, d’altro canto, un percorso fondamentale per acquistare una qualche sapienza sul mondo, e lo sviluppo del linguaggio ha corso parallelo allo sviluppo del pensiero matematico. Detto questo, rimane però il problema di come trasmettere questo fantastico quanto intrigante connubio.

E’ assolutamente evidente, infatti, che la tecnologia può essere colta solo se si è consapevoli dello sviluppo scientifico che ne sta alla base. Tuttavia, comunicare questo in termini estremamente semplicistici è pericoloso, perché la scienza è davvero una cosa complessa e trovare il giusto modo di rendere tale complessità facilmente fruibile senza per questo banalizzare, si pone come una sfida ardua ma necessaria per ogni matematico ed ogni insegnante che si rispetti.
Se, infatti, non viene fatta percepire la possibilità di un approccio personale alla complessità, si ha tra le mani solo un discorso impoverito e sterile che al primo colpo di vento può essere senza problemi fatto cadere.

Un esempio di ottima divulgazione destinata ai bambini dedicata alla matematica ce la offre allora Hans Magnus Enzensberger, un non matematico di professione ma un raro esempio di eclettismo intellettuale, con il suo Il mago dei numeri (titolo originale Der Zahlenteufel) pubblicato presso Einaudi. Libricino in cui, non a caso, le illustrazioni preziose di R. Susanne Berner sono state messe lì apposta per dare voce ad una favola ‘stile Carroll’ (non a caso anch’egli un matematico) alla scoperta fantastica della matematica.
Quella raccontata da Enzensgerger è niente più che una favola rigorosa (sembra un ossimoro ma non lo è) che ha per protagonista un mondo di sogno (quello stesso mondo di sogno dove rischiamo di vivere se non penetriamo con coscienza nei segreti della scienza), che riesce, grazie ad una sapiente narrazione raccontata anche, appunto, per immagini, a farsi protagonista a tutto tondo di un progressivo svelamento delle meraviglie che si aprono ad un bambino che nella matematica riesce ad entrare nel modo giusto.

Un sogno lungo esattamente dodici notti, durante il quale il mago dei numeri, un diavoletto rosso deciso a far dimenticare a Roberto il terribile professor Mandibola, lo conduce per mano nel cuore della Matematica, spiegandogli brillantemente le regole che presiedono a questa straordinaria disciplina, dal crivello di Eratosetene alla congettura di Golbach, dagli insiemi infiniti numerabili alle frazioni continue, dai numeri triangolari, ai fattoriali, ai numeri di Fibonacci al triangolo di Tartaglia.
Il risultato sarà così un progressivo innamoramento di Roberto nei confronti dei numeri (prima responsabili dei suoi incubi notturni), che lo porterà a riconciliarsi con quella che il bambino riconoscerà essere, alla fine della storia, una parte fondamentale della cultura, non più avvertita come proibita.
Finito di leggere il libro, colpisce che fra i ringraziamenti Enzensberger citi il suo insegnante di matematica Theo Renner che, a differenza del prof. Mandibola, così scrive l’autore, «era sempre in grado di dimostrare che in matematica la gioia prevale sulla paura».
Un esempio (certo illuminante) di come in età adulta si riesca a tradurre in maniera originale, con una comunicazione personalissima, ciò che da bambini ci è stato trasmesso con passione e partecipazione.

Il matematico Piergiorgio Odifreddi, fra i promotori del numero di Lettera Matematica, insiste molto sulla dimensione della matematica come gioco (analogamente al linguaggio che, per citare Wittgeinstein, è anch’esso fatto di giochi linguistici), cosa a cui d’altra parte ci ha abituato da tempo anche Ennio Peres con la sua rubrica storica tenuta su Linus “Scherzi di Peres” (esempio, questo, di come maneggiare la logica sia un “gioco da ragazzi”, a dire la verità, davvero molto impegnativo oltre che piacevolissimo).

La dimensione ludica, come si sa, a parere di molti esperti, non dovrebbe, infatti, essere disgiunta da ogni operazione di scoperta, da ogni processo dimostrativo che, secondo quanto scritto da Enzensberger a pagina 217, risulta un po’ essere «come attraversare un fiume: in mezzo al fiume ci sono alcuni grossi massi (le proprietà e i teoremi già noti). Per attraversare il fiume si scelgono massi che siano abbastanza vicini, così si può saltare dall’uno all’altro. Se va bene ci si riesce, altrimenti si resta bloccati. (…) Alcuni massi sono troppo distanziati e allora non puoi saltare da uno all’altro. E se ci provi cadi in acqua. A volte riesci a procedere solo per vie traverse, allungando il percorso, e altre non riesci per niente».
Un sottile gioco di abilità e strategia, dunque, dove mantenersi in equilibrio su qualche solida nozione è fondamentale come mettere in conto inevitabili fallimenti e anche rischi calcolati.

A proposito di gioco, c’ è una teoria, detta appunto Teoria dei Giochi, che studia le caratteristiche dei giochi da un punto di vista matematico.
Cosa c’entra la matematica, per esempio, con gli scacchi, per i più curiosi è una cosa tutta da scoprire andando con diligenza a studiarsi questa teoria.
Nel frattempo, chi è intrigato dal tema del gioco in matematica ma anche in letteratura, può andarsi a leggere un classico della letteratura dell’Ottocento, L’alfier nero scritto da Boito, un racconto dove è contenuto un gioco simbolico – forse un po’ troppo scoperto ma comunque intrigante – che vede la scacchiera rappresentare la vita, dove è in corso una guerra fra forze in lotta. Guarda caso, in bilico fra razionalità e fantastico.

“Invece il cento c’è” 18 gennaio 2010

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Il bambino non deve essere considerato alieno al mondo matematico, ma un individuo con proprie caratteristiche specifiche e dotato di innate capacità matematiche, il cui sviluppo è da stimolare e incrementare in maniera positiva e costruttiva.

La poesia di Malaguzzi afferma che il bambino è fatto di cento, nel senso più lessicale del termine, ma con un chiaro riferimento alla quantità, in questo caso di ‘ricchezze’ interiori, di cui il bambino è dotato.

“Invece il cento c’è”

(di Loris Malaguzzi)

Il bambino
è fatto di cento.

Il bambino ha
cento lingue
cento mani
cento pensieri
cento modi di pensare
di giocare e di parlare

cento sempre cento
modi di ascoltare
di stupire di amare
cento allegrie
per cantare e capire

cento mondi
da scoprire
cento mondi
da inventare
cento mondi
da sognare.

Il bambino ha
cento lingue
(e poi cento cento cento)
ma gliene rubano novantanove.

La scuola e la cultura
gli separano la testa dal corpo.

Gli dicono:
di pensare senza mani
di fare senza testa
di ascoltare e di non parlare
di capire senza allegrie
di amare e di stupirsi
solo a Pasqua e a Natale.

Gli dicono:
di scoprire il mondo che già c’è
e di cento
gliene rubano novantanove.

Gli dicono:
che il gioco e il lavoro
la realtà e la fantasia
la scienza e l’immaginazione
il cielo e la terra
la ragione e il sogno
sono cose
che non stanno insieme.

Gli dicono insomma
che il cento non c’è.
Il bambino dice:
invece il cento c’è.

Aritmetica ‘bizzarra’ 18 gennaio 2010

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Gli amatori della lingua italiana, dell’etimologia in particolare, sanno benissimo che i vocaboli o, se preferite, le parole, nel loro mutamento di significato, per svariati motivi possono finire con l’indicare cose diversissime da quelle che indicavano un tempo, e giungere persino ad esprimere significati opposti. Non ha fondamento alcuno, quindi, l’opinione – assai diffusa – secondo la quale tutte le parole conservano nel tempo qualche sentore del loro significato  “primitivo”. Non a caso abbiamo pensato di titolare questa nostra modesta chiacchierata  “aritmetica bizzarra”, e il perché lo scopriremo strada facendo; anche se, ahinoi, lo stesso titolo – a prima vista – ci potrebbe smentire in quanto il termine aritmetica ha conservato, nel corso dei secoli, l’accezione primaria: “scienza dei numeri”, cioè il computare secondo le diverse operazioni che si fanno con i numeri. Viene, infatti, dal greco “arithmòs” (numero). Come sia sa, però, l’eccezione conferma la regola; in questo caso la  “regola” è la nostra affermazione iniziale. Una riprova?

Primo può assumere significati diversi se ci si riferisce all’ordine nel tempo oppure all’inizio di una serie. E nel determinare chi è il “primo” occorre stabilire in quale direzione si comincia a fare il computo: il Divino chiama, nel suo capolavoro, “primo” giro l’empireo, cioè quel cielo che in altre parti chiama, invece, “ultima spera”. Restando in tema, primo in greco si dice  “protos”: e il vocabolo “proto” che a Venezia indicava il “primo” operaio, il capo operaio, soprattutto nelle stamperie, si diffuse in tutto il territorio nazionale con il significato di  “direttore di tipografia”, grazie alla supremazia esercitata dalla città lagunare nell’arte della stampa e del commercio librario per tutto il XVI secolo. Un composto di  “protos” è il  “protagonista” il quale nel dramma antico era il personaggio  “primo” (e principale); il secondo era il  “deuteragonista” e qualche volta si arrivava al terzo, cioè al  “tritagonista”. Oggi, con sempre maggiore indifferenza, si parla di  “diversi” protagonisti e di protagonisti  “principali”. Il significato primitivo del termine, quindi, è andato a farsi friggere con buona pace dei puristi della lingua.

Ma vediamo di piluccare qua e là allo scopo di scovare parole “numeriche” che hanno perso il loro significato originario. Vogliamo vedere alcuni esempi di vocaboli che hanno in sé il numero ‘tre’ solo a… parole? Ecco il “trespolo”, che oggi può avere anche quattro gambe, ma in senso proprio ne ha solo tre, perché è formato con gli stessi elementi o componenti di  “treppiedi”. E che dire della  “tramoggia” che, stando all’etimologia, era un recipiente che conteneva  “tre moggi”? Viene, infatti, dal latino “trimodia” (tri, da ‘tres’, tre e  “modius”, moggio). Ci sembra interessante ricordare che la tramoggia era anche la cassetta dove venivano riposti, in attesa di essere presi in esame, gli scritti pervenuti all’Accademia della Crusca.

Qualche esempio con il numero “quattro”. Il quaderno è, in senso proprio, un foglio intero piegato in quattro parti (dal latino “quaterni”, a quattro a quattro): secondo l’etimologia sarebbe, per tanto, abusivo parlare di un quaderno di 48 e 32 pagine. E il quadrante dell’orologio? Ora indica la mostra dell’orologio con l’intero circolo delle 12 ore, anticamente, invece, era davvero il  “quarto” di circolo o poco piú, che basta per segnare le ore nelle meridiane. Mentre il quadro, stando, all’etimologia, dovrebbe essere una figura di quattro lati: oggi si parla di  “quadro ovale” e si è dato al termine il significato generico di  “superficie dipinta”, qualunque possa essere la sua forma. Anche i verbi  “squartare” e  “squarciare”, diretti discendenti del latino  “quartus”, hanno sfumature diverse: con il primo si pensa ancora, sia pure approssimativamente, a una divisione  “in quattro” parti; con il secondo, invece, possiamo pensare a una lacerazione che può produrre anche moltissimi pezzi minuti.

Il mese di settembre – sempre in tema di “aritmetica bizzarra” – mostra nel suo nome una traccia di quando, in tempi ormai lontanissimi, era il settimo mese dell’anno. Un’origine del tutto diversa, invece, quell’incongruente espressione  “oggi a otto”, per dire “fra sette giorni”: è un residuo del metodo secondo il quale i Latini per indicare un periodo di tempo contavano sia il giorno di partenza sia il giorno di arrivo. Da mezzogiorno di domenica, per esempio, a mezzogiorno della domenica successiva  corrono, esattamente, sette giorni; se contiamo, però, la domenica iniziale e quella finale i giorni presi in considerazione diventano otto. Da questo conteggio “errato” è nata , anche, la ridicola espressione “da qui a otto”.

Abbiamo fatto pochi esempi ma sufficienti, riteniamo, per dimostrare la bizzarría di certa aritmetica.

Struttura matematica: l’Albero genealogico 14 gennaio 2010

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La matematica astratta non si occupa della natura degli oggetti, ma solamente della loro organizzazione, lo studio di una medesima struttura astratta dà informazioni su più sistemi concreti.

La matematica, dunque, studia soprattutto delle ‘specie di strutture’: ad esempio, la specie ‘gruppo’, della quale i singoli gruppi sono gli ‘individui’; la specie ‘spazio topologico’, per la quale i singoli spazi topologici sono gli individui; e così via.

Intendiamoci, vi sono anche altri modi di intendere la matematica e di utilizzarla: la visione strutturalista riesce però a dare una notevole sintesi della matematica a livello formale.

L’albero genealogico è un esempio di STRUTTURA MATEMATICA solida e semplice, costruita su relazioni facilmente riconoscibili. Comprendere il funzionamento dell’albero genealogico e saper individuare le relazioni che legano i vari elementi di cui l’albero è composto è un primo livello di astrazione rispetto alla realtà, che aiuta i bambini a comprendere il concetto di struttura matematica e li introduce al suo utilizzo.

Per i bambini è facile e divertente costruire e ampliare i rami del loro albero genealogico; nel seguirli si farà attenzione che essi colgano i concetti fondamentali.
Ad esempio si può far loro notare come ogni relazione che lega due elementi sia qualcosa in più rispetto alla somma degli stessi.

Allego di seguito l’albero genealogico della mia famiglia.

Recensioni libri ‘matematici’ per la scuola dell’infanzia 14 gennaio 2010

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Prendo spunto dalla mia attuale esperienza lavorativa in una Scuola d’Infanzia, per considerare alcuni libri di testo, che ho trovato nella piccola biblioteca che è stata creata all’interno della scuola per permettere ai bambini di avvicinarsi ai libri ed al mondo della lettura.

I libri che sto per analizzare hanno come argomento comune l’introduzione in maniera ludica alla conoscenza della matematica e dei numeri. L’avvicinamento dei bambini a questi testi prettamente matematici  rientra nel programma di percorsi educativi e didattici nei diversi campi di esperienza, cioè i diversi ambiti del fare e dell’agire del bambino, e quindi i settori specifici ed individuabili di competenza, nei quali il bambino conferisce significato alle sue molteplici attività, sviluppa il suo apprendimento e persegue i suoi traguardi formativi.

Nel concreto queste esperienze di osservazione e lettura si dovrebbero svolgere entro confini definiti tenendo conto degli interessi, dei bisogni, delle esperienze e delle capacità già maturate dal bambino e con il costante attivo coinvolgimento e stimolo, da parte dell’adulto, nel progressivo avvicinamento al mondo della matematica.
Il primo libro su cui vorrei fare una riflessione è:

“Primi passi con…i numeri” (S. Gallo)- (Edicart/De Agostini) (1995).

Il testo si presenta come un simpatico libro cartonato, robusto e maneggevole, per imparare a contare da zero a dieci. I colori dell’arcobaleno e i divertenti disegni accompagnano il bambino nel mondo dei numeri, che, come in un gioco, scorrono di pagina in pagina al ritmo di allegre filastrocche.

Il formato e il materiale con cui è realizzato il libro permettono di sperimentare concretamente i numeri nelle loro forme, in una sfilata che aumenta dimensioni, permettendo al lettore di toccare il contorno esterno dei numeri e, di pagina in pagina, contribuendo anche a focalizzare un primordiale concetto di quantità crescente e decrescente (da 0 a 10 e da 10 a 0).

Le filastrocche che accompagnano il testo e sono abbinate a ciascun numero, grazie alla presenza delle rime, aiutano il bambino, soprattutto intorno ai 3/4 anni di età, a memorizzare facilmente i numeri a livello lessicale.

Direttamente dal testo:

0 “Zero è ovale non c’è nessuno se giri il foglio trovi qualcuno”

1 “Un ippopotamo ballerino danzerà fino al mattino”

2 “ Due serpenti affettuosi son contenti di esser sposi”

3 “ Tre festosi maialini si rincorron birichini”

…e così si procede fino al numero 10, ovviamente il tutto supportato da figure e disegni delle situazioni nominate nelle filastrocche.

Il secondo testo che passo ad analizzare è:

“Contiamo insieme” ( G. Crespi) – (La Coccinella) (1992)

Il testo fa parte della collana dei ‘libri con i buchi’, si tratta di volumi stampati su cartone spesso ed indistruttibile, con tanti buchi, che permettono al bambino di guardarci dentro per infilarci le dita, e scoprire quella dei numeri come una nuova dimensione che stimola la creatività.

Questo formato del libro permette di approfondire l’esperienza sensoriale tattile e manipolativa, inoltre le storie raccontate sono semplici filastrocche, che piacciono ai bambini piccoli (3/4 anni) con disegni stampati a vivaci colori.

La prima pagina del testo riporta la seguente filastrocca:

“Un giorno una rana disse a un bambino:

Impara a contare col tuo ditino.

Se con me non c’è nessuno,

io da sola sono: uno.”

Nella pagina successiva è presente l’immagine di una grande rana sorridente ed il foglio di cartone ha un buco in corrispondenza di un occhio dell’animale; mentre nelle pagine successive seguono filastrocche sul numero 2 (con l’immagine di due tucani con due fori al posto delle due teste), il numero 3 (con tre meduse, ognuna forata a livello del corpo)…così si prosegue fino al numero 10.

Un ulteriore testo che avvicina i bambini alla conoscenza dei numeri è il seguente:

“Mamma oca insegna i numeri” (T. Wolf) – (Dami Editore) (2007)

Il libro affronta, in maniera leggermente più complessa rispetto ai due testi precedenti, la scoperta dei numeri da 0 a 10, presentando tante allegre filastrocche di Mamma Oca e le sue buffe ochette, che accompagnano il bambino, intorno al quinto anno di età, nel riconoscimento dei numeri e delle prime semplici operazioni di addizione e sottrazione.

La prima parte del testo è interamente dedicato a filastrocche in rima che rimandano ai primi dieci numeri, nelle ultime pagine sono presenti le seguenti diciture:

Addizione

E’ ora di cena! Le ochette hanno fame:

–          1 porta i piatti

–          1 porta le posate

–          1 porta il pane

–          1 porta i bicchieri

–          1 porta la zuppa

= ora 5 ochette si siedono a tavola a mangiare tutte insieme. Buon appetito!”

Sottrazione

“ Le 5 ochette hanno mangiato tutta la pappa.

Una (1) si alza, saluta e se ne va.

A tavola ora sono rimaste 4 ochette

Contale anche tu!”

La parte riportata qui sopra si riferisce a semplici ragionamenti atti a sviluppare un primordiale concetto di “aggiungere” e “togliere”, riferendosi rispettivamente alle operazioni di addizione a sottrazione, con riferimenti logici e visivi semplici ma significativi.

“Scopri le forme” è un libretto, edito da Libra Edizioni (1994), che presenta attraverso le avventure di Lillo e Toby (due amici animaletti), un percorso di prima scoperta delle forme geometriche, partendo dall’osservazione della realtà quotidiana e degli oggetti conosciuti dai bambini.

Le competenze che il testo mira a sviluppare sono, nel seguente ordine:

–          percezione globale delle forme (rotonda, quadrata, rettangolare, triangolare)

–          denominazione delle forme

–          classificazione delle forme (insiemistica)

–          associazione di oggetti in base alla forma

–          sviluppo del pensiero logico (completamento di sequenze)

Gli esercizi proposti sono di coloritura, ritaglio, completamento di linee, sequenze e semplici percorsi, adatti ai bambini di 4/5 anni.

Un libro ancora più semplice rispetto al precedente, rivolto a bambini di 3/4 anni, è “Volpina impara le forme” (S. Barbalarga) (2002), il testo è composto di poche pagine cartonate nelle quali vengono presentate le 4 forme geometriche principali con l’aggiunta di quella a stella.

Il percorso di conoscenza e riconoscimento delle forme viene stimolato nel bambino attraverso la proposta di similitudini delle forme con oggetti semplici (ad esempio: Rotondo…come il bottone, Quadrato come il cuscino…). Vengono successivamente riportate anche immagini di altri oggetti che possiedono le varie forme man mano considerate. Questo libro permette ai bambini di venire a contatto con le prime semplici idee di forme, stimolando l’osservazione e la riflessione sul mondo che li circonda.

L’ultimo libro che intendo considerare è:

“Caccia agli insiemi” (N. Costa) – (Emme Edizioni) (1997)

Il testo è uno stimolo a cominciare a pensare gli oggetti raggruppandoli e categorizzandoli, per sviluppare il concetto di ‘insieme’ come concetto primitivo ed intuitivo,il libro è rivolto prevalentemente a bambini che frequentano l’ultimo anno della scuola d’infanzia.

Il discorso viene introdotto parlando di Lucia come di una bambina molto disordinata:

“Lucia prende le sue matite tutte insieme…ecco l’insieme delle matite di Lucia..”

Così seguono esempi di altri bambini che riuniscono e raggruppano degli oggetti; successivamente è rappresentato su due pagine un paesaggio naturalistico con la seguente dicitura:

“In questo paesaggio ci sono pesci, uccelli, nuvole, pecore, case…”

Di seguito vengono presentati, con disegno e scritte, gli insiemi degli elementi precedentemente nominati.

La seconda parte del libro propone situazioni simili alle precedenti sotto forma di esercizi che i bambini devono svolgere cerchiando gli elementi proposti oppure disegnando dentro gli insiemi vuoti degli oggetti secondo determinate indicazioni.

Proseguendo nel testo si propongono frasi di logica per introdurre il concetto di insieme vuoto, come nel seguente esempio:

“Cerchia e metti insieme tutti i pesci con le zampe.”

“Nessun pesce cammina”

“Se ne deduce che l’insieme dei pesci con le zampe è un insieme vuoto”

In conclusione si ha qualche accenno al concetto di sottoinsieme,i riferimenti sono sempre fatti a situazioni ed oggetti concreti, semplici, comuni, di vita quotidiana, aiutando i bambini alla comprensione dei concetti proposti, anche grazie all’ausilio delle immagini; ad esempio:

“Il prato è un insieme di fiori.

Ecco, nel cerchio, il sottoinsieme delle margherite.”

I sei libri che ho esaminato trattano in maniera semplice, ma avvincente, i primi rudimenti di concetti matematici e di ragionamento logico, considerando sempre l’importanza del riferimento al contesto pratico ed esperienziale di riferimento dei bambini di età compresa tra i 3 ed i 5 anni.

L’approccio didattico che si consiglia di utilizzare coi bambini nella scuola d’infanzia è quello di partire sempre facendo fare al bambino esperienze concrete con l’utilizzo di materiale non strutturato (oggetti generici: giocattoli, cannucce, bicchieri colorati…) e di materiale strutturato (blocchi logici, numeri in colore, blocchi aritmetici, abaco, linea dei numeri).

A questo proposito, Dienes e Goldindg sostengono che “i concetti non si insegnano, tutto quello che si può fare è di creare, presentare le situazioni e le esperienze che aiuteranno i fanciulli a formarli”.

J. Piaget sostiene che “in matematica la parola non serve a nulla, il disegno non basta ancora, è necessaria l’azione” e che quindi attraverso lo stadio delle “operazioni concrete” il bambino apprende il linguaggio matematico.

Il punto di partenza per qualsiasi attività di tipo matematico sarà il gioco. Attraverso il gioco e le esperienze personali verranno introdotti i primi concetti matematici. In questo contesto può inserirsi l’utilizzo dei primi semplici libri di testo, come ausilio per avvicinare i bambini al mondo matematico.

Matematica moderna come Enciclopedia? 11 gennaio 2010

Posted by Alessandra in Cos'è la matematica?.
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Fino a qualche tempo fa la matematica era definita come ‘la scienza dei numeri e delle figure’: con questo si constatava che la matematica classica si articolava in aritmetica e in geometria. Questa definizione era già carente da tempo: non teneva conto, ad esempio, dello sviluppo della fisica matematica iniziato fra il XVII e il XVIII secolo.

Oggi tale definizione è del tutto inadeguata: intanto, è superata dall’apertura di nuovi campi di studio (ad esempio la logica e la statistica).

A quella definizione si possono muovere obiezioni di altro tipo. Perché accomunare numeri e figure, cioè l’aritmetica e la geometria, in una disciplina più vasta? Che cosa c’è, nella natura stessa dell’aritmetica e della geometria, che le accomuna?

Oggi potremmo forse riformulare la definizione di matematica aggiungendovi i nuovi campi di studio: ma come ci comporteremmo quando un nuovo ramo si presenta alla ribalta, con caratteristiche che gli esperti riconoscono di tipo matematico?

Potremmo dire questo: è estremamente difficile definire la matematica per contenuti specifici; paradossalmente, potremmo affermare che la matematica è l’indice di un libro di matematica, ad esempio l’indice di questa parte dell’Enciclopedia.

Ma, anche prescindendo dal carattere ovviamente paradossale di questa affermazione, sarebbe facile muoverle ulteriori obiezioni. Ad esempio, in questa Enciclopedia certi argomenti potrebbero benissimo figurare nella sezione matematica; invece si trovano altrove, perché accorpati con discipline con le quali presentano affinità (si pensi ad esempio alla meccanica razionale o all’informatica). Nelle aule universitarie (e non solamente in quelle) spesso si insegna della matematica anche in corsi che, strettamente parlando, non sono di matematica.

I due più antichi capitoli di questa Enciclopedia, l’aritmetica e la geometria, sono stati accomunati dalla tradizione culturale perché per più di duemila anni sono stati studiati con metodi ‘razionali’, ‘rigorosi’. È però difficile precisare che cosa sia esattamente il rigore matematico: è un’esigenza che ha avuto dei cicli, anche se sui lunghi periodi si è andata affinando. La geometria greca del IV e del III secolo a.C. raggiunse un livello di rigore che non fu eguagliato per duemila anni; ma in seguito i principi sui quali si basava furono sottoposti a una accurata analisi critica, e quindi riformulati. Inoltre, non tutti gli studi matematici sono condotti, in una determinata epoca, con lo stesso livello di rigore.

A partire dal XVII secolo si è assistito a un rifiorire degli studi matematici, a partire da quell’epoca fu abbastanza significativo questo fenomeno: di tanto in tanto nuove discipline entravano in contatto con la matematica, adottandone gli strumenti, trovando dei capitoli comuni.

Per capire che cos’è la matematica dobbiamo cercare di capire che cosa è il pensiero matematico, e qual è la posizione della matematica nell’ambito della cultura moderna.

Concludendo questa analisi, possiamo dire questo: la matematica non è un mondo a sé stante, come spesso si è portati a credere, bensì è aperta alla collaborazione con gli altri campi disciplinari; a questi essa offre metodi, e da essi trae nuovi campi di indagine.

Per capire se si sta ‘facendo della matematica’, bisogna osservare non quello che si fa, bensì come lo si fa; occorre dunque rinunciare a porsi la domanda: ‘quali sono i contenuti della matematica?’.

A questo proposito si può notare un fatto abbastanza frequente. Chi si accosta per la prima volta alla ‘matematica moderna’, pur apprezzando il discorso stimolante, interessante, spesso chiede: quando cominciamo a fare della matematica? La risposta è: voi fate già della matematica; la si fa quando si risolvono indovinelli in modo intelligente; la si fa quando si affronta una situazione nuova, utilizzando ‘per analogia’ esperienze precedenti. Si tratterà di un modo rudimentale di fare matematica, ma non c’è una cesura netta fra queste prime attività e il fare matematica organizzato.

L’avvento della matematica moderna ha messo in chiaro il carattere metodologico della matematica. All’inizio, la matematica moderna fu l’espressione di un’esigenza di rifondazione delle basi della matematica (dopo l’epoca d’oro della cultura greca, i progressi della matematica erano stati soprattutto volti a scoprire nuovi campi, piuttosto che a dare formulazioni rigorose): quindi lo studio della matematica da un punto di vista moderno, soprattutto nell’insegnamento, non è giustificato dal fatto che si tratta di un ‘indirizzo alla moda’, bensì dall’esigenza di costruire la matematica su basi più sicure, e da quella di esplicitare i modi del pensiero razionale.

Riflettendo possiamo comprendere che una cosa è la coerenza logica di un sistema, di una teoria, un’altra cosa (probabilmente più difficile da chiarire) è la sua adeguatezza a rappresentare il ‘mondo reale’.

Ambiti tradizionali, come l’aritmetica e la geometria, hanno avuto un ruolo fondamentale nel movimento di modernizzazione della matematica: quindi sarebbe più corretto parlare, invece che di ‘matematica moderna‘, di ‘nuovo modo di costruire e studiare la matematica’.

Nella nuova sistemazione si ritrova la matematica tradizionale, ma la si vede in un panorama più ampio, che unifica aspetti che prima apparivano non coordinati; in definitiva il panorama della matematica risulta più semplice, si realizza una notevole economia di pensiero.

Chi a scuola ha studiato la matematica in modo tradizionale ritroverà dunque (forse non subito) argomenti già visti, ma in una nuova prospettiva.

Un’avvertenza utile a chi si accinge a leggere uno scritto divulgativo di matematica. In un’altra disciplina, che si caratterizzi per contenuti ben precisi, il lettore può trovare qualche aspetto interessante, anche indipendentemente da una visione globale dei problemi: ad esempio, il comportamento di certi animali, il funzionamento di un organo, la struttura di un atomo, le configurazioni dei corpi celesti… In matematica, invece, non sono molti i risultati che possono apparire interessanti, presi da soli. Quello che conta è la connessione dei vari risultati, e il più delle volte conta anche il modo con il quale si perviene a essi.

Un testo di matematica ha d’altra parte questo vantaggio: in altre discipline ogni tanto bisogna dare fiducia all’autore per quanto riguarda il risultato di certi esperimenti, alcune conoscenze ecc.; invece, un’opera di matematica può e deve essere autosufficiente: il lettore, seguendola, deve essere in grado di ricostruire da sé la disciplina. L’obiettivo principale di un testo di matematica dovrebbe essere: mettere il lettore in grado di costruire da sé il pensiero matematico.

Imparare la matematica significa soprattutto acquisire un nuovo modo di pensare, sviluppare alcune capacità che potenzialmente ciascuno porta in sé.