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Ringraziamenti 26 gennaio 2010

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Un ringraziamento al Professor Lariccia,
e a parenti, amici,
colleghi e bambini
che hanno partecipato e mi hanno aiutato in
questo percorso matematico!


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Analisi di un percorso…quello del Corso in ‘Matematiche elementari da un punto di vista superiore’ 26 gennaio 2010

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Eccomi giunta al termine del percorso di preparazione all’esame di Matematica, ho cercato di portare ‘dentro’ ai miei lavori una parte di me, del mio percorso di formazione e lavorativo, di riflettere la passione e l’entusiasmo (inaspettati) che mi ha trasmesso affrontare questo percorso nel mondo della matematica, un risveglio di interesse per una disciplina ‘viva’, che mi ha reso attiva artefice di questo sito e degli altri elaborati in preparazione all’esame.

La voglia di insegnare con  sentimento e di imparare ancora mi ha spinto ad approfondire molte tematiche ed il poter ‘fare’ e sperimentare concretamente nell’universo matematico mi ha appassionato molto di più che non ripetere solo nozioni memoniche da un libro di testo, ho avuto la possibilità di costruire un percorso in divenire, che mi ha arricchito e aperto la mente su nuove e interessanti prospettive, con la speranza di poter trasmettere questa gioia in più ai bambini tutti i giorni nel mio lavoro.

Pillole di matematica 26 gennaio 2010

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“Non si impara mai pienamente una scienza difficile, ad esempio la matematica, dai soli libri.”

(G. Leopardi)

Anche uno scrittore di opere letterarie, come Leopardi, riconosceva il valore dell’esperienza concreta e delle forme di apprendimento informali, non basate solo sullo studio memonico o concettuale attraverso i libri di testo.

‘Pazzi’ per i numeri 25 gennaio 2010

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Il cervello di Albert Einstein non era un cervello normale. Avena una piccola variante nella carrozzeria, come i deflettori delle Ferrari: un grumo di cellule non conforme ai regolamenti piazzato in una zona strategica, il lobo parietale sinistro. Guarda caso, proprio la zona preposta alle funzioni matematiche.

E’ questo «bernoccolo» segreto che ha fatto di «lui un grande scienziato? Brian Butterworth, autore di Intelligenza matematica (Rizzoli), scuote la testa: «Non lo sappiamo. Einstein potrebbe essere nato con quelle cellule in più, oppure potrebbe averle acquisite con l’esercizio. Forse le capacità numeriche sono la causa, anziché la conseguenza, del maggior numero di neuroni. In questo senso, il cervello non molto diverso dai muscoli: se fai certi movimenti o certi sport, la muscolatura interessata si sviluppa di più».

Il professor Butterworth ha cinquantacinque anni, due figlie e due gatti, e insegna neuropsicologia cognitiva all’University College di Londra. Il suo interesse per il mondo dei numeri risale agli anni del college e all’incontro con la moglie, che allora studiava filosofia della matematica. Ma tornato prepotentemente a galla una decina di anni fa, quando il clinico inglese si trovato alle prese con pazienti un po’ particolari. «La loro memoria era normale – racconta -, il linguaggio pure, ma non riuscivano a contare. Da ciò abbiamo dedotto che esista un’area del cervello specializzata per i numeri. Quello che io chiamo “Modulo Numerico”. In passato, questa funzione non era stata molto approfondita: l’attenzione dei neurologi si era concentrata piuttosto su altri aspetti, come la memoria, il linguaggio, la coscienza. Non avevano capito quanto questa area fosse importante. Se il Modulo non funziona a dovere, il soggetto gravemente svantaggiato nella vita di tutti i giorni. Trova difficile o imbarazzante andare a fare la spesa, a volte non ricorda l’indirizzo di casa, il numero di telefono, la propria età». Un tempo si pensava che capacità linguistiche e numeriche andassero di pari passo, che «dislessia» e «discalcolìa», fossero due facce di una sola patologia: le due zone interessate sono contigue e vengono alimentate dagli stessi vasi sanguigni, sicché una lesione in quella parte del cervello compromette molto spesso entrambe le facoltà. Ma non sempre.

Casi psichiatrici a parte, continua Butterworth, una cosa sicura: «Siamo nati per contare. Abbiamo dei circuiti incorporati che ci permettono di classificare il mondo in termini numerici. Perfino i neonati percepiscono il numero delle cose. L’ho sperimentato io stesso su mia figlia, quando era ancora in fasce». Ma allora perché certe persone, anche in età adulta, detestano la matematica, e non riescono mai a padroneggiarla? «Le ragioni possono essere due: la prima che abbiano avuto dei cattivi insegnanti, o che non siano cresciute in un ambiente sociale favorevole all’apprendimento. L’altra ragione il linguaggio. Certe lingue, come l’inglese o l’italiano, hanno una terminologia molto irregolare per i numeri. Fino a dieci tutto fila liscio. Ma dopo cominciano gli undici, i dodici, i tredici, e ogni decina successiva ha un nome diverso: venti, trenta, quaranta … In cinese o in giapponese, invece, dopo if dieci si conta dieci-uno, dieci-due, dieci-tre. Venti due-dieci, trenta tre-dieci, e avanti così. Insomma tutto più semplice e trasparente. Basta imparare qualche regoletta, e i numeri camminano da soli. Quando arrivano a scuola, i bambini in pratica sanno già contare». Ecco perché, nelle facoltà scientifiche americane, gli studenti di origine asiatica sbaragliano tutti.

Gli occidentali sono mediamente meno brillanti. Eppure, negli ambienti intellettuali, questo non considerato un grave handicap. Molti si vantano addirittura di avere poca dimestichezza con l’algebra e la geometria, quasi fosse e un segno di distinzione. «Scrivere male, o sgrammaticato, quella sì una pecca imperdonabile. Fare i conti una mansione meno elevata, che si può tranquillamente delegare a qualche subordinato, o a una macchina. Chris Woodhead, ispettore capo delle scuole britanniche, non fa che stigmatizzare Ia mediocrità dei nostri insegnanti. Bene, un intervistatore, giorni fa, gli ha chiesto a bruciapelo: quant’ la metà di tre quarti? La risposta 37.5%, ma lui non stato in grado di dirlo. In seguito, un portavoce lo ha giustificato ricordando che un esperto di inglese, non di aritmetica. Quasi che per calcolare la metà di tre quarti ci volesse una laurea in matematica. Gente come Woodhead andrebbe solo compatita, non condannata».

Evidentemente il suo Modulo Numerico non stato esercitato abbastanza, si come atrofizzato. E questo un problema comune a tanta gente. Per diventare bravi con i numeri – dice Butterworth – bisogna immergervisi. Purtroppo non sempre i professori sono dotati di quella che lui definisce «la mano del tintore». Due sono le leve sulle quali occorre agire: primo, rendere la matematica più, comprensibile. La comprensione la chiave del successo, e la mancata comprensione porta all’«ansia da numeri». Ma la matematica deve soprattutto essere un piacere, un gioco, come già insegnava Lewis Carroll alla sua Alice. In Inghilterra circola questa storiella. Un avvocato, un artista e un matematico discutono se sia meglio avere una moglie o un’amante. L’avvocato dice: la moglie, perché non ti procura dei grattacapi legali. L’artista sceglie l’amante, che rappresenta la libertà. E il matematico? «Dovreste averle entrambe – dice – così, quando ognuna delle due pensa che siete con l’altra, potete farvi un po’ di equazioni in santa pace».

Ma anche per chi ai numeri, saggiamente, preferisce l’amante, la matematica non deve diventare una tortura. Dice Butterworth: «Ci sono mille modi – giochi, puzzle, indovinelli per rendere divertente questa materia. Sono sicuro che se li adoperassimo più spesso, i ragazzi farebbero molta meno fatica a imparare».

Rimane il problema di chi proprio non ce la fa perché affetto da «discalcolìa evolutiva». Come Charles, il caso clinico più incredibile che il dottor Butterworth abbia mai dovuto affrontare. A trentun anni, Charles usa le dita per fare somme e moltiplicazioni, e quando gli si chiede se 9 più grande di 1, deve pensarci su un po’. Stenta perfino a contare dei punti messi in fila, un esercizio banalissimo. alla portata dei lattanti. Eppure intelligente, istruito (ha una laurea in psicologia), controlla bene il vocabolario. Evidentemente, qualcosa non va nel suo cervello. Ma che cosa? «Ci sono due possibilità – dice Butterworth -. La prima che nell’infanzia abbia subìto un danno cerebrale. La seconda (ma soltanto un’ipotesi), che sia affetto da un’anomalia genetica. Se i nostri geni contengono istruzioni per costruire ogni singola area del cervello, i geni di Charles forse non contenevano le istruzioni corrette, per cui questa parte del suo cervello non mai stata configurata».

Per disturbi come quello di Charles, anche se si presentano in forma più lieve, al momento non esistono farmaci o terapie. Butterworth confida nella ricerca sul genoma umano. «Quando avremo trovato i geni che determinano l’abilità numerica, potremo mettere a punto dei test per diagnosticare i bambini a rischio e possibilmente curarli per tempo. Non si tratta di farli diventare tutti degli Einstein, ma di risparmiare loro delle orribili esperienze sui banchi di scuola. Perché oggi i ragazzi affetti da discalcolìa, a differenza dei dislessici, vengono giudicati semplicemente svogliati o stupidi. E non c’ nessuno che li aiuti».

Come si riconosce un matematico, senza parlare di matematica? 25 gennaio 2010

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Un matematico non si può riconoscere ad occhio, bisogna conoscerlo, ascoltarlo, studiarlo. Devi conoscerlo per poterlo capire.
Un matematico non è né bello né brutto. Può essere bellissimo o bruttissimo. Un matematico non è né alto e né basso. Può essere grasso o gran bevitore, può essere astemio o un politico. Un dormiglione. Un cieco dalla nascita! Può essere nero, bianco, o indiano, o di una qualsiasi razza. Può essere ricco e benestante o poverissimo.
E’ chiaro che non tutti quelli che studiano matematica si possono definire matematici, è ovvio che non tutti i professori di matematica sono dei matematici.
Un matematico vero può esserlo un ottimo avvocato, un grande ingegnere, un fine falegname, un professore di matematica, il ragazzo con cui giochi a scacchi e che non riesci mai a battere.
Un matematico può essere la ragazza della porta accanto, può essere Miss Italia, può essere la più brutta del paese. Addirittura può essere lo scemo del villaggio.


Secondo me, si può scorgere un matematico in una discussione di bar, sul treno, tra amici, ad una festa… ecc.
Se si sa cosa notare, si può scorgere un matematico in ogni luogo.
Come? Semplicissimo. Basta capire chi in una discussione tende ad innervosire l’interlocutore, ossia chi tende a controbattere le affermazioni fatte con esempi e contro esempi che tendono ad innervosire “l’avversario”.
Questo è un indizio, è un metterti sul chi va là. Se noti qualcosa del genere in una discussione è forse il caso di prestare un po’ più d’attenzione.
Qualcuno potrebbe dire, allora qualsiasi scemo del villaggio, che senza essere interrogato si inserisce in una conversazione, può essere un matematico. Potrebbe anche essere così, ma in quel caso ci sono buone probabilità che lo scemo del villaggio è proprio chi cerca di scorgere un matematico!
Ritorniamo al nostro indizio, se scorgi, dunque, qualcuno che ha questa capacità di innervosire “l’avversario”, hai trovato il soggetto che potrebbe essere un matematico. Bisogna fare chiaramente ancora qualche verifica. Ossia, bisogna ascoltarlo, capirlo e quindi giudicarlo.
Qual è dunque il secondo passo da fare?
Il secondo passo è cercare di capire se, l’ipotetico matematico, tende a “ripulire” l’affermazione fatta dal suo interlocutore da elementi inutili e fuorvianti.  Un matematico sicuramente non è un amante del barocco; somiglia, più ad uno “spazzino” che al re Sole.
L’affermazione di cui si disquisisce, nelle mani del matematico, apparirà libera da orpelli, chiara, semplice ed enunciata in maniera inequivocabile.
A questo punto, viene il bello. Questo è il momento cruciale. Arriva l’attacco. In questo frangente, l’ipotetico matematico, ti potrà sembrare un violento. Dotato di una violenza inaudita e di una mancanza totale di rispetto.
L’unica cosa che sembra interessargli è l’attacco. La confutazione, la distruzione totale dell’affermazione fatta dal suo interlocutore.
L’idea è proporre un esempio che faccia scaturire, chiaramente, dall’affermazione  una contraddizione. Se il matematico, è ora di chiamarlo così, riesce nell’intento è probabile che l’interlocutore, in preda ad una crisi di nervi, abbandoni il campo, magari anche sproloquiando.

I numeri? Sono nati nel cuore dell’Africa 23 gennaio 2010

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VENTIMILA ANNI FA

Due ossa scoperte in Congo lanciano l’ipotesi sull’origine della matematica.

Senza aver mai messo piede in Africa Darwin aveva già capito tutto: era lì che bisognava cercare l’origine dell’umanità. Il nostro albero genealogico da Lucy, con i suoi tre milioni e mezzo di anni, a Roumai, vecchio di sette milioni di stagioni, continua a infrondarsi in quella terra delle meraviglie antropologiche che è l’Africa Orientale. Adesso si affaccia e si discute di un’altra ipotesi affascinante, sconvolgente: e se oltre che l’uomo anche la sua attività più astratta e insieme più pratica ovvero la matematica, fossero state inventate da un genio africano? Cinquemila anni fa ci avevano assicurato finora, nella terra dei due fiumi, i sumeri cominciarono a contare. Niente affatto! Ventimila anni fa nel cuore del continente nero pescatori pieni di immaginazione creativa già utilizzavano ossa segnate con sistemi numerici. C’è di che sconbussolare perfino gli estremismi di Martin Bernal e della sua Atena nera.

Raccontiamo questo giallo archeologico africano. Ventimila anni fa dunque, in Africa australe, ancor più di oggi terra coperta di foreste spesse e di laghi grandi come il mare. Gli archeologi vi diranno che era l’età della pietra tarda: la animavano tribù indaffarate di pastori e di allevatori. Qui vicino alle rive del lago Edward si dedicavano alla pesca. Era una vera civiltà, capace di migliorare sistematicamente i propri strumenti di lavoro, come gli arpioni fatti di osso, che disponeva di mole e pietre di quarzo perfettamente tagliate, che aveva corde fatte di fibre vegetali. Tutti oggetti che ha lasciato sulle rive del lago in provvidenziali discariche, insieme alle ossa degli animali e gli scheletri dei pesci. Quanto sarebbero smilzi i nostri libri di storia antica senza questi magazzini di rifiuti! Un giorno un pescatore, forse in attesa che la pesca desse i suoi frutti, prese in mano due piccole ossa, uno di dieci e l’altro di quattordici centimetri. Uno era di un mammifero, forse un leone, forse una grande scimmia, l’altra umano. Ne incise metodicamente la superficie su tutte le facce: i segni ancora oggi hanno una cadenza perfetta simmetrica, sono serie cadenzate separate da uno spazio. Quell’uomo era forse il primo matematico della storia?

Ventimila anni dopo, nel 1950, in quella terra si chiama Ishango una cittadina del Congo ancora belga arriva Jean de Heinzelin, ricercatore de l’Institut Royal des Sciences Naturelles. Ha scelto proprio quella terrazza fossile all’imbocco del lago perché qui sono stati ritrovati arpioni in osso e una mandibola di ominide. Intuizione fortunata la sua: dalle due profonde trincee scavate nel suolo escono conchiglie, arpioni, utensili in quarzo bianco. E il primo dei «bastoni di Ishango», l’osso che quell’ignoto antenato aveva così accuratamente inciso nella preistoria. Il suo lavoro è evidente: a una delle estremità ancora c’è un piccolo frammento di quarzo che serviva certo a tagliare. Nove anni dopo il secondo osso arrichisce e ispessisce il mistero. Che spalanca ipotesi così innovative da turbare gli studiosi da più di mezzo secolo e da indurli a prudentissime reticenze. A Bruxelles fino a venerdì le due ossa saranno le «vedette» di un convegno internazionale.

Eppure i numeri sono lì: tre tratti, otto tratti… come non convertire le colonne in cifre? Il gioco delle combinazioni è inarrestabile, su un lato 10+1, 20+1, i numeri primi nel secondo, la regola del doppio nella terza, insomma un sistema matematico completo a base dieci. Altri hanno speculato sulla presenza prevalente del sei. Ecco la prova definitiva! Ancora oggi molte popolazioni africane usano questa cifra come base di calcolo. Altri sono andati ancora più in là: è un calendario lunare. Oppure un’oggetto divinatorio. O uno strumento per dividere la pesca del giorno. Siamo alla fantascienza archeologica? Un regista misterioso si diverte a cancellare gli indizi: perché la mineralizzazione rende impossibile utilizzare la prova del radiocarbonio.

Pillole di matematica 22 gennaio 2010

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“APPRENDIMENTO SIGNIFICA ESPERIENZA. QUALSIASI ALTRA COSA E’ SOLO INFORMAZIONE.”

(A.Einstein)

L’importanza dellesperienza concreta e diretta, con gli oggetti reali, è rilevante per l ‘apprendimento anche nella matematica.

Pillole di Matematica 22 gennaio 2010

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“NON C’E’ APPRENDIMENTO SENZA DIVERTIMENTO E NON C’E’ DIVERTIMENTO SENZA APPRENDIMENTO”.
(McLuhan)

Ritengo, personalmente, che questo dovrebbe essere il fondamento principale, anche dell’apprendimento in matematica.

Il divertimento e la dimensione ludica stimolano ad apprendere in maniera significativa,  costruttiva e creativa.

Animali matematici 18 gennaio 2010

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  1. Corvi e numer1

C’è un racconto che risale al Settecento, citato da tutti gli studiosi delle abilità matematiche degli animali. E’ la triste storia di un corvo che viveva in una torre e che, per sua sfortuna, sapeva contare soltanto fino a cinque:

Un contadino voleva uccidere un corvo che aveva fatto il suo nido in cima a una torre, dentro ai suoi poderi. Ma ogni volta che si avvicinava, l’uccello volava via, fuori  dalla portata del suo fucile, finché non si allontanava. Solo allora il corvo ritornava nella torre, riprendendo le sue dannose incursioni sui terreni del contadino. Questi pensò allora di chiedere aiuto a un suo vicino. I due uomini armati entrarono insieme nella torre, ma poco dopo ne uscì soltanto uno. Il corvo però non si lasciò ingannare, e non ritornò al nido finché non fu uscito anche il secondo contadino. Per riuscire ad ingannarlo entrarono poi tre uomini e successivamente quattro e cinque. Ma il corvo ogni volta aspettava che fossero usciti tutti prima di far ritorno al nido. Soltanto in sei finalmente, i contadini ebbero la meglio, infatti il corvo aspettò che cinque di loro fossero usciti e quindi fiducioso rientrò sulla torre, dove il sesto contadino lo uccise.

Questo significa che il corvo sapeva contare fino a cinque? Al di là di questo racconto e di ogni dubbio, è quanto ha dimostrato sessant’anni fa Otto Koehler, celebre etologo tedesco. Koehler è stato fra i primi studiosi delle abilità matematiche degli animali ad ottenere risultati scientificamente corretti. Protagonista di uno dei suoi esperimenti più famosi era proprio un corvo, di nome Jacob. Al corvo venivano presentate diverse scatole con un coperchio sul quale erano disegnati un certo numero di punti. Il corvo veniva premiato quando apriva la scatola che presentava sul coperchio un numero di punti uguale a quello dei punti disegnati su un cartoncino che gli veniva mostrato. Jacob imparò a scegliere fra le diverse scatole quella che aveva sul coperchio lo stesso  numero di punti del cartoncino. Alla fine Jacob sapeva distinguere 2, 3, 4, 5 e 6 punti. Uno in più del “corvo della torre”. Si tenga presente che i punti sul coperchio erano diversi, per forma e disposizione, da quelli disegnati sul cartoncino. Koehler dimostrò così che gli uccelli erano in grado di confrontare due numerosità e di ricordare il numero di oggetti presentati in tempi successivi.

“Il nostro cervello – sostiene Stanislas Dehaene, un  matematico  specializzato  in psicologia   cognitiva che   si  è dedicato   allo   studio   della rappresentazione   dei   numeri   e   della   matematica – esattamente come quello del corvo, è dotato da tempo immemorabile di una rappresentazione intuitiva delle quantità”. Gli animali sanno dunque contare, anche se non contano esattamente come noi, ma in un modo più approssimativo, più “vago”.

2.  Canarini, pappagalli e altri uccelli matematici


Non sono soltanto i corvi a dimostrare certe abilità matematiche naturalmente. Lo stesso Koehler addestrò alcune taccole a sollevare i coperchi di un certo numero di scatole per arrivare a prendere da esse un numero stabilito di pezzetti di cibo. Raggiunto il numero proposto dall’addestratore dovevano fermarsi. Le taccole arrivarono ad eseguire con successo questi esperimenti. Altri ricercatori addestrarono un gruppo di canarini a scegliere la quinta pastiglia che incontravano durante la loro ispezione di una serie di gabbie comunicanti. Piccioni furono in grado di contare il numero dei loro colpi di becco, arrivando a distinguere quarantacinque da cinquanta colpi.

Oggi, fra gli uccelli, c’è una vera star della matematica. Si chiama Alex ed è un pappagallo cenerino africano. Pazientemente,  la psicologa Irene Pepperberg della Brandeis University in Waltham, Massachusetts, lo ha seguito per 27 anni, insegnandogli un vasto vocabolario di parole inglesi e fra queste i nomi di sette colori, di cinque forme e i numeri da uno a sei.

Quando gli si chiede quanti oggetti ci siano in un vassoio risponde nel suo migliore inglese con il numero corrispondente, anche se gli vengono presentati oggetti mai visti prima.  La cosa più sorprendente, secondo Pepperberg, sarebbe  la conquista dello zero,  un concetto difficile della matematica, lo zero, al quale i bambini arrivano soltanto all’età di tre o quattro anni. Nelle prove delle sue abilità di calcolo usa correttamente il termine “nessuno” in assenza di una quantità numerica da calcolare. Questa conclusione è un po’ azzardata ed è stata infatti contestata da molti altri esperti.

Alex non ha capito probabilmente cosa significhi addizionare o sottrarre zero a un numero, ma più semplicemente potrebbe rispondere “none” quando non riesce a identificare il numero degli oggetti che si trova di fronte. E questa è forse l’osservazione più sensata riguardo alla sua padronanza del concetto di zero.

Una triste notizia. Il 6 settembre scorso Alex è morto, all’età di 31 anni. Grazie al paziente lavoro della sua istruttrice era arrivato a identificare il nome di 5o oggetti, oltre alle sue straordinarie capacità che abbiamo descritto. Ne ha dato l’annuncio l’agenzia di stampa Reuters l’11 settembre 2007.

3.  I leoni sanno contare

Leonesse del Serengeti

In seguito, lo stesso Koehler e molti altri scienziati condussero diversi esperimenti con altri animali, confermando le loro capacità numeriche.

L’esperimento più curioso  e spettacolare è sicuramente quello condotto da Karen McComb, dell’Università del Sussex, nel Parco del Serengeti, in Tanzania. Una leonessa isolata sente un ruggito che non riconosce e ne deduce che debba esserci un intruso nel suo territorio. Si ferma per decidere se attaccarlo o no, sarebbe uno scontro alla pari, uno contro uno, e potrebbe anche avere la peggio. Per questo prosegue e raggiunge il suo gruppo per essere così al sicuro. Alcuni giorni dopo sente ancora un ruggito e poi un coro  di ruggiti sovrapposti, nessuno dei quali le è famigliare e ne deduce che ci sono tre intrusi. Questa volta però è in compagnia di quattro leonesse del suo gruppo. Loro sarebbero quindi in cinque contro tre. A questo punto una leonessa, la leader del gruppo incomincia ad avvicinarsi al punto di origine dei ruggiti, una macchia di alberi ad alcune centinaia di metri di distanza. Dapprima cautamente e poi quando le altre la raggiungono, sempre più rapidamente, si lancia poi alla carica, a capofitto, fra gli alberi. Nella macchia però non c’è traccia di intrusi. I ruggiti provenivano da un altoparlante sistemato da McComb per realizzare il suo esperimento.

E’ Brian Butterworth, docente di neuropsicologia all’University College di Londra, che descrive questo esperimento e osserva: “La migliore spiegazione del comportamento della leonessa leader è che essa abbia enumerato  i ruggiti percepiti e le leonesse del suo gruppo, e abbia fatto un raffronto tra i due numeri. Questo è un fatto notevole, perché il numero degli intrusi viene ricavato dal suono che essi producono (perché non sono visibili), mentre il numero dei difensori  si ricava da un altro senso o da altri sensi, fra cui la vista, e viene poi immagazzinato nella memoria della leonessa. Perciò essa deve astrarre la numerosità dei due insiemi – intrusi e difensori – indipendentemente dal senso con cui li percepisce e poi raffrontare queste numerosità astratte”.

Un dubbio: sono soltanto le leonesse a saper contare o anche i loro compagni? Forse, i leoni, più pigri per natura, lasciano questo impegno alle leonesse?

4.   Ratti astuti  e numerati

Anche i ratti hanno un senso del numero, come dimostrarono alcuni esperimenti condotti negli anni cinquanta e sessanta. All’inizio gli esperimenti non erano molto convincenti.  Uno, descritto da Keith Devlin, è particolarmente curioso e pur essendo un fallimento sulla verifica delle abilità numeriche dei ratti, dimostra però la loro astuzia. I ratti venivano posti in un corridoio sul quale si aprivano numerose porticine, tutte chiuse tranne una. In una fila di dieci porte, ad esempio, solo la numero 7 si poteva aprire e dietro era nascosta una certa quantità di cibo. I ricercatori volevano vedere se, dopo un certo numero di tentativi, i ratti avrebbero imparato a ignorare le prime sei porte, puntando direttamente alla 7. L’esperimento all’apparenza fu un grande successo. Dopo un certo numero di prove, gli animali si precipitarono a gran velocità fino alla porta 7 e poi l’aprivano per arrivare al cibo. Un’analisi più accurata condotta sulle videoregistrazioni degli esperimenti esaminate al rallentatore, rivelò che i ratti, mentre sfrecciavano lungo il corridoio, assestavano un leggero colpo a ogni porta con la zampetta posteriore, finché non trovavano quella che cedeva. A quel punto si bloccavano dov’erano e si precipitavano sul cibo. “L’insegnamento che i ricercatori trassero dalla prova – commenta Devlin – fu di stare molto attenti nell’interpretare le proprie osservazioni: non sempre le cose sono quelle che sembrano”. Successivi esperimenti, condotti con maggior attenzione da Francis Mechner e da altri studiosi di psicologia animale, hanno dimostrato che i ratti hanno un preciso “senso del numero”. I ratti vennero messi in una gabbia chiusa dove si trovavano due tasti A e B. Per ottenere il premio, una piccola razione di cibo, i ratti dovevano premere il tasto A un certo numero di volte e solo in seguito potevano passare al tasto B e ottenere la ricompensa. Se sbagliavano la sequenza prevista, invece del cibo c’era una penitenza, ricevevano ad esempio una leggera scossa elettrica oppure si spegneva la luce. Dapprima i ratti si resero conto che dovevano premere più volte il tasto A e una sola volta il tasto B. In seguito riuscirono a precisare meglio il “più volte” e dopo un certo addestramento riuscirono a premere il tasto A un numero di volte corrispondente al numero “n” scelto dall’addestratore. Non sempre però il numero “n” era preciso ma approssimato. Se, ad esempio,  veniva richiesto di premere il tasto A 4 volte, la loro risposta poteva  variare da 3 a 7. L’esperimento venne ulteriormente precisato introducendo un altoparlante che emetteva una sequenza di suoni. In questo modo si arrivò alla conferma della capacità dei ratti di saper riconoscere il numero  approssimativo di oggetti, di suoni, di bocconi di cibo o di altre azioni. Questa capacità di generalizzare da modalità di percezione o di azione differenti è un elemento importante – osserva Dehaene – di quello che chiamiamo il “concetto di numero”. Negli animali gli esperimenti di generalizzazione di questo concetto di numero, presentato in modi diversi, sono ancora scarsi.

5.   La matematica dei nostri cugini scimpanzé

Ai, nata in Africa nell’ottobre del 1976.
Oggi vive al Kyoto University Primate Research Institute

Quali sono i limiti dell’intelligenza matematica degli animali? A quale livello possono arrivare le loro capacità? Per rispondere a queste domande vediamo come si comportano gli scimpanzé, i nostri parenti più prossimi e con il cervello più simile al nostro. Molti esperimenti hanno confermato che gli scimpanzé hanno una certa abilità nell’aritmetica elementare. Uno dei più celebri è Ai, addestrata da Nobuyuki Kawai e Tetsuro Matsuzawa del Kyoto University Primate Research Institute. Ai è in grado di riconoscere i numeri arabi, da 0 a 9, corrispondenti a un certo numero di oggetti ed è in grado di metter tali numeri in ordine crescente o decrescente.

Sheba lo ha superato, raggiungendo, dopo un lungo periodo di addestramento, risultati sorprendenti. E’ in grado infatti non soltanto di addizionare oggetti indicando la somma con simboli astratti, cioè numeri arabi, ma di operare direttamente con simboli numerici indicando la somma con il simbolo corrispondente. Sheba opera quindi con simboli astratti, senza dover passare attraverso insiemi di oggetti concreti. “Mai un animale – osserva Dehaene – si era tanto avvicinato alle capacità di calcolo simbolico dell’uomo”.

Tra le scimmie, uno dei “geni” più recenti si chiama Kanzi. E’ una scimmia che appartiene alla specie dei bonobo, una specie che vive nell’Africa centrale, nei pressi delle sorgenti del Congo. Dalla nascita vive presso il centro di ricerca sul linguaggio dell’Università della Georgia, negli Stati Uniti. Mentre i ricercatori cercavano di insegnare il linguaggio umano alla madre, Matata, Kanzi, osservando e ascoltando, ha imparato più di cento termini. Ora riesce a comunicare con i ricercatori, “parla” con loro anche senza vederli, anche attraverso il telefono. Kanzi, inoltre, non riconosce soltanto parole dal significato “concreto”, ma anche concetti “astratti” come “bene” e “male”.

Osserva Devlin: “Occorre ricordare che ci vollero molti anni di addestramento lento e faticoso per raggiungere il tipo di prestazione ottenuto da Sheba e da varie creature – scimpanzé, scimmie, delfini e altri animali – in esperimenti di questo genere. Insegnare agli animali il legame esistente fra simboli astratti e insiemi di oggetti è un processo lungo e difficile. La loro prestazione non è mai perfetta ed è comunque limitata a insiemi molto piccoli”.

6.   Fenomeni da baraccone, o da tv

Hans l’astuto, il cavallo sapiente

Animali “sapienti”, portati in  giro ad esibirsi in circhi o teatri, ce ne sono sempre stati. Sono animali in grado di compiere calcoli sorprendenti,  grazie però a qualche trucco, anche involontario, nei rapporti con l’addestratore.

Esemplare è il caso un cavallo tedesco, Hans l’astuto, Der kluge Hans, addestrato per più di dieci anni dal suo padrone, Wilhelm von Osten, insegnante di matematica e addestratore di cavalli. Hans sembrava in grado di risolvere problemi di matematica e di compitare parole.

Siamo all’inizio del secolo scorso e il cavallo si esibiva in teatri e fiere oppure nel cortile della casa di von Osten, di fronte a una folla entusiasta per le sue prodezze. Il pubblico poneva un problema di aritmetica, ad esempio: “Quanto fa 4 + 6?”. Hans rispondeva battendo con uno degli zoccoli anteriori una serie di colpi pari al risultato dell’addizione. E le capacità matematiche di Hans sembravano ancora più strabilianti. Sembrava in grado infatti di operare anche con le frazioni, ad esempio di sommare 2/5 e 1/2. Dava la risposta battendo prima 9 colpi e poi 10.

Nel 1904 venne istituita una commissione d’inchiesta, presieduta da un eminente psicologo, Carl Stumpf, una commissione voluta dallo stesso proprietario del cavallo, convinto e probabilmente in buona fede, che Hans  fosse veramente, fra i cavalli, l’Einstein della matematica. Dopo un esame lungo e approfondito, la commissione dovette concludere che non c’erano trucchi nelle esibizioni del cavallo. Qualcuno però non era convinto dei risultati dell’inchiesta. Si chiamava Oskar Pfungst ed era uno studente del presidente della commissione. Con nuovi accurati esperimenti dimostrò che Hans riceveva dei segnali dal proprietario, oppure dalla persona tra il pubblico che gli poneva una domanda. Segnali che indicavano al cavallo il momento in cui doveva smettere di battere la zampa. Poteva essere semplicemente un battito di ciglia, un movimento del capo o delle narici, corrispondenti a un aumento della tensione in chi lo interrogava, quando il cavallo si avvicinava alla risposta.

.  Conclusioni

Quali sono i limiti dell’intelligenza matematica degli animali? A quale livello possono arrivare le loro capacità? Sono domande che abbiamo già espresso e per le quali non sembra che a tutt’oggi ci siano risposte convincenti. Lo studio dell’intelligenza animale è ancora molto approssimativo.

Nuovi raffinatissimi  strumenti,  disponibili soltanto  da  pochi anni,  come la camera a positroni, consentono di   visualizzare   l’attività   cerebrale   e   avviare    nuovi rivoluzionari  studi  sul  cervello,  arrivando, tra l’altro, a localizzare anche i  circuiti neurali della matematica. Ma questi studi sono soltanto all’inizio sull’uomo, e molto meno avanzati per gli animali.

Scrive Dehaene: “Noi siamo dotati di una rappresentazione mentale delle quantità molto simili a quella di un ratto, un piccione o una scimmia. Proprio come loro possiamo, senza fare ricorso al linguaggio, numerare rapidamente collezioni di oggetti sonori o visivi, addizionarli e confrontarne la cardinalità. Queste capacità, ereditate dalla nostra storia evolutiva, non ci permettono soltanto di fare una stima rapida della grandezza di un insieme. Secondo me entrano ugualmente in gioco quando siamo in grado di capire numeri pronunciati o scritti in forma simbolica, per esempio in cifre arabe. In breve, l’intuizione delle grandezze numeriche che ereditiamo dall’evoluzione avrebbe il ruolo di un germe che favorirebbe lo sbocciare della matematica più avanzata”.

Devlin invita a distinguere fra l’aritmetica degli animali e la matematica dell’uomo: “Il pensiero matematico – osserva – sembra essere esclusivo degli esseri umani”. Inoltre “La matematica non ha  a che fare con i numeri, ma con la vita. Riguarda il mondo in cui viviamo. Le idee. Ben lungi dall’essere opaca e sterile come tanto spesso la si dipinge, essa trabocca di creatività”.

“SE  PENSAVAMO  CHE GLI ANIMALI  NON AVESSERO NULLA  A  CHE  FARE  CON LA  MATEMATICA….CI DOVREMMO  PROPRIO  RICREDERE!”

I regoli 18 gennaio 2010

Posted by Alessandra in Strumenti di calcolo.
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I regoli sono un semplice sussidio per introdurre il bambino nel mondo dei numeri e del calcolo aritmetico.
I regoli hanno diverso colore a seconda della lunghezza.

Il cubetto, che ha il lato di 1 centimetro è solitamente di colore bianco e  rappresenta l ’unità , gli altri ne sono multipli.


Lo scopo per cui vengono utilizzitati, solitamente nella prima classe della scuola primaria, è quello di imparare ad ordinare e confrontare i numeri partendo da semplici esempi concreti.

Ecco un esempio di operazione aritmetica eseguita con il sussidio dei regoli, per visualizzare in maniera concreta e corretta le differenti quantità ed i valori cardianali, che indicano cioè la numerosità dei numeri.

Di seguito inserisco gli esempi di alcune esercitazioni che è possibile effettuare con i regoli.

L’esrcitazione richiede al bambino di combinare i regoli per raggiungere una determinata quantità.

Il bambino deve colorare i regoli in maniera corretta in riferimento al numero che rappresentano.

L’unione di regoli differenti messi vicino avvicina il bambino al concetto di addizione.

Grazie all’utilizzo dei regoli per il bambino è possibile sperimentare in modo concreto, ‘toccando con mano’, il mondo dei numeri e delle operazioni aritmetiche (addizione e sottrazione).