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Ringraziamenti 26 gennaio 2010

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Un ringraziamento al Professor Lariccia,
e a parenti, amici,
colleghi e bambini
che hanno partecipato e mi hanno aiutato in
questo percorso matematico!


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Analisi di un percorso…quello del Corso in ‘Matematiche elementari da un punto di vista superiore’ 26 gennaio 2010

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Eccomi giunta al termine del percorso di preparazione all’esame di Matematica, ho cercato di portare ‘dentro’ ai miei lavori una parte di me, del mio percorso di formazione e lavorativo, di riflettere la passione e l’entusiasmo (inaspettati) che mi ha trasmesso affrontare questo percorso nel mondo della matematica, un risveglio di interesse per una disciplina ‘viva’, che mi ha reso attiva artefice di questo sito e degli altri elaborati in preparazione all’esame.

La voglia di insegnare con  sentimento e di imparare ancora mi ha spinto ad approfondire molte tematiche ed il poter ‘fare’ e sperimentare concretamente nell’universo matematico mi ha appassionato molto di più che non ripetere solo nozioni memoniche da un libro di testo, ho avuto la possibilità di costruire un percorso in divenire, che mi ha arricchito e aperto la mente su nuove e interessanti prospettive, con la speranza di poter trasmettere questa gioia in più ai bambini tutti i giorni nel mio lavoro.

Commento al sondaggio – “Matematica: Amore o Odio?” 26 gennaio 2010

Posted by Alessandra in Matematica innata.
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Mi ritengo soddisfatta di esser riuscita a raccogliere le idee, impressioni e sentimenti che le persone nutrono nei confronti della matematica, poco dopo aver dato vita a questo sito, mi è sorto spontaneo il seguente quesito: “ La matematica è amata, odiata o, in maniera conflittuale, entrambe?”

La risposta deriva da un bilancio delle risposte a questo sondaggio dal 28 dicembre ad oggi.

Matematica: Amore o Odio?

Amore 40%

Odio 10%

Amore & Odio 50%

Other: 0%

La maggioranza delle persone che hanno partecipato al sondaggio dichiara di avere un rapporto conflittuale con la matematica, di ‘Amore & Odio’ (50%), è tuttavia molto alta anche la percentuale di coloro che dichiarano di Amare questa materia (40%), solo una percentuale minima di votanti dichiara di provare Odio per la matematica, mentre nessuno rilascia ulteriori alternative espressioni od opinioni (Other 0%) sull’argomento trattato.

Da queste considerazioni approdo ad ulteriori domande e provo a darmi delle risposte:

Perché la matematica è difficile?

  • gli stati d’animo negativi verso la matematica sono provocati dalla frustrazione in caso di insuccesso
  • l’errore, quando viene effettuato, è evidente e inconfutabile
  • le strategie usuali d’impegno e diligenza sono spesso inefficaci
  • non riuscire in matematica è considerato segno di non brillante intelligenza

Allora possiamo chiederci:

Come può la matematica suscitare interesse e motivazione?

  • interpretando la realtà con la matematica
  • cercando l’interdisciplinarietà (collegamenti con altre discipline)
  • discutendo le credenze negative sulla materia
  • lavorando per gruppi per raggiungere obiettivi
  • partendo dagli interessi degli alunni

Pillole di matematica 26 gennaio 2010

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“Non si impara mai pienamente una scienza difficile, ad esempio la matematica, dai soli libri.”

(G. Leopardi)

Anche uno scrittore di opere letterarie, come Leopardi, riconosceva il valore dell’esperienza concreta e delle forme di apprendimento informali, non basate solo sullo studio memonico o concettuale attraverso i libri di testo.

‘Pazzi’ per i numeri 25 gennaio 2010

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Il cervello di Albert Einstein non era un cervello normale. Avena una piccola variante nella carrozzeria, come i deflettori delle Ferrari: un grumo di cellule non conforme ai regolamenti piazzato in una zona strategica, il lobo parietale sinistro. Guarda caso, proprio la zona preposta alle funzioni matematiche.

E’ questo «bernoccolo» segreto che ha fatto di «lui un grande scienziato? Brian Butterworth, autore di Intelligenza matematica (Rizzoli), scuote la testa: «Non lo sappiamo. Einstein potrebbe essere nato con quelle cellule in più, oppure potrebbe averle acquisite con l’esercizio. Forse le capacità numeriche sono la causa, anziché la conseguenza, del maggior numero di neuroni. In questo senso, il cervello non molto diverso dai muscoli: se fai certi movimenti o certi sport, la muscolatura interessata si sviluppa di più».

Il professor Butterworth ha cinquantacinque anni, due figlie e due gatti, e insegna neuropsicologia cognitiva all’University College di Londra. Il suo interesse per il mondo dei numeri risale agli anni del college e all’incontro con la moglie, che allora studiava filosofia della matematica. Ma tornato prepotentemente a galla una decina di anni fa, quando il clinico inglese si trovato alle prese con pazienti un po’ particolari. «La loro memoria era normale – racconta -, il linguaggio pure, ma non riuscivano a contare. Da ciò abbiamo dedotto che esista un’area del cervello specializzata per i numeri. Quello che io chiamo “Modulo Numerico”. In passato, questa funzione non era stata molto approfondita: l’attenzione dei neurologi si era concentrata piuttosto su altri aspetti, come la memoria, il linguaggio, la coscienza. Non avevano capito quanto questa area fosse importante. Se il Modulo non funziona a dovere, il soggetto gravemente svantaggiato nella vita di tutti i giorni. Trova difficile o imbarazzante andare a fare la spesa, a volte non ricorda l’indirizzo di casa, il numero di telefono, la propria età». Un tempo si pensava che capacità linguistiche e numeriche andassero di pari passo, che «dislessia» e «discalcolìa», fossero due facce di una sola patologia: le due zone interessate sono contigue e vengono alimentate dagli stessi vasi sanguigni, sicché una lesione in quella parte del cervello compromette molto spesso entrambe le facoltà. Ma non sempre.

Casi psichiatrici a parte, continua Butterworth, una cosa sicura: «Siamo nati per contare. Abbiamo dei circuiti incorporati che ci permettono di classificare il mondo in termini numerici. Perfino i neonati percepiscono il numero delle cose. L’ho sperimentato io stesso su mia figlia, quando era ancora in fasce». Ma allora perché certe persone, anche in età adulta, detestano la matematica, e non riescono mai a padroneggiarla? «Le ragioni possono essere due: la prima che abbiano avuto dei cattivi insegnanti, o che non siano cresciute in un ambiente sociale favorevole all’apprendimento. L’altra ragione il linguaggio. Certe lingue, come l’inglese o l’italiano, hanno una terminologia molto irregolare per i numeri. Fino a dieci tutto fila liscio. Ma dopo cominciano gli undici, i dodici, i tredici, e ogni decina successiva ha un nome diverso: venti, trenta, quaranta … In cinese o in giapponese, invece, dopo if dieci si conta dieci-uno, dieci-due, dieci-tre. Venti due-dieci, trenta tre-dieci, e avanti così. Insomma tutto più semplice e trasparente. Basta imparare qualche regoletta, e i numeri camminano da soli. Quando arrivano a scuola, i bambini in pratica sanno già contare». Ecco perché, nelle facoltà scientifiche americane, gli studenti di origine asiatica sbaragliano tutti.

Gli occidentali sono mediamente meno brillanti. Eppure, negli ambienti intellettuali, questo non considerato un grave handicap. Molti si vantano addirittura di avere poca dimestichezza con l’algebra e la geometria, quasi fosse e un segno di distinzione. «Scrivere male, o sgrammaticato, quella sì una pecca imperdonabile. Fare i conti una mansione meno elevata, che si può tranquillamente delegare a qualche subordinato, o a una macchina. Chris Woodhead, ispettore capo delle scuole britanniche, non fa che stigmatizzare Ia mediocrità dei nostri insegnanti. Bene, un intervistatore, giorni fa, gli ha chiesto a bruciapelo: quant’ la metà di tre quarti? La risposta 37.5%, ma lui non stato in grado di dirlo. In seguito, un portavoce lo ha giustificato ricordando che un esperto di inglese, non di aritmetica. Quasi che per calcolare la metà di tre quarti ci volesse una laurea in matematica. Gente come Woodhead andrebbe solo compatita, non condannata».

Evidentemente il suo Modulo Numerico non stato esercitato abbastanza, si come atrofizzato. E questo un problema comune a tanta gente. Per diventare bravi con i numeri – dice Butterworth – bisogna immergervisi. Purtroppo non sempre i professori sono dotati di quella che lui definisce «la mano del tintore». Due sono le leve sulle quali occorre agire: primo, rendere la matematica più, comprensibile. La comprensione la chiave del successo, e la mancata comprensione porta all’«ansia da numeri». Ma la matematica deve soprattutto essere un piacere, un gioco, come già insegnava Lewis Carroll alla sua Alice. In Inghilterra circola questa storiella. Un avvocato, un artista e un matematico discutono se sia meglio avere una moglie o un’amante. L’avvocato dice: la moglie, perché non ti procura dei grattacapi legali. L’artista sceglie l’amante, che rappresenta la libertà. E il matematico? «Dovreste averle entrambe – dice – così, quando ognuna delle due pensa che siete con l’altra, potete farvi un po’ di equazioni in santa pace».

Ma anche per chi ai numeri, saggiamente, preferisce l’amante, la matematica non deve diventare una tortura. Dice Butterworth: «Ci sono mille modi – giochi, puzzle, indovinelli per rendere divertente questa materia. Sono sicuro che se li adoperassimo più spesso, i ragazzi farebbero molta meno fatica a imparare».

Rimane il problema di chi proprio non ce la fa perché affetto da «discalcolìa evolutiva». Come Charles, il caso clinico più incredibile che il dottor Butterworth abbia mai dovuto affrontare. A trentun anni, Charles usa le dita per fare somme e moltiplicazioni, e quando gli si chiede se 9 più grande di 1, deve pensarci su un po’. Stenta perfino a contare dei punti messi in fila, un esercizio banalissimo. alla portata dei lattanti. Eppure intelligente, istruito (ha una laurea in psicologia), controlla bene il vocabolario. Evidentemente, qualcosa non va nel suo cervello. Ma che cosa? «Ci sono due possibilità – dice Butterworth -. La prima che nell’infanzia abbia subìto un danno cerebrale. La seconda (ma soltanto un’ipotesi), che sia affetto da un’anomalia genetica. Se i nostri geni contengono istruzioni per costruire ogni singola area del cervello, i geni di Charles forse non contenevano le istruzioni corrette, per cui questa parte del suo cervello non mai stata configurata».

Per disturbi come quello di Charles, anche se si presentano in forma più lieve, al momento non esistono farmaci o terapie. Butterworth confida nella ricerca sul genoma umano. «Quando avremo trovato i geni che determinano l’abilità numerica, potremo mettere a punto dei test per diagnosticare i bambini a rischio e possibilmente curarli per tempo. Non si tratta di farli diventare tutti degli Einstein, ma di risparmiare loro delle orribili esperienze sui banchi di scuola. Perché oggi i ragazzi affetti da discalcolìa, a differenza dei dislessici, vengono giudicati semplicemente svogliati o stupidi. E non c’ nessuno che li aiuti».

Come si riconosce un matematico, senza parlare di matematica? 25 gennaio 2010

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Un matematico non si può riconoscere ad occhio, bisogna conoscerlo, ascoltarlo, studiarlo. Devi conoscerlo per poterlo capire.
Un matematico non è né bello né brutto. Può essere bellissimo o bruttissimo. Un matematico non è né alto e né basso. Può essere grasso o gran bevitore, può essere astemio o un politico. Un dormiglione. Un cieco dalla nascita! Può essere nero, bianco, o indiano, o di una qualsiasi razza. Può essere ricco e benestante o poverissimo.
E’ chiaro che non tutti quelli che studiano matematica si possono definire matematici, è ovvio che non tutti i professori di matematica sono dei matematici.
Un matematico vero può esserlo un ottimo avvocato, un grande ingegnere, un fine falegname, un professore di matematica, il ragazzo con cui giochi a scacchi e che non riesci mai a battere.
Un matematico può essere la ragazza della porta accanto, può essere Miss Italia, può essere la più brutta del paese. Addirittura può essere lo scemo del villaggio.


Secondo me, si può scorgere un matematico in una discussione di bar, sul treno, tra amici, ad una festa… ecc.
Se si sa cosa notare, si può scorgere un matematico in ogni luogo.
Come? Semplicissimo. Basta capire chi in una discussione tende ad innervosire l’interlocutore, ossia chi tende a controbattere le affermazioni fatte con esempi e contro esempi che tendono ad innervosire “l’avversario”.
Questo è un indizio, è un metterti sul chi va là. Se noti qualcosa del genere in una discussione è forse il caso di prestare un po’ più d’attenzione.
Qualcuno potrebbe dire, allora qualsiasi scemo del villaggio, che senza essere interrogato si inserisce in una conversazione, può essere un matematico. Potrebbe anche essere così, ma in quel caso ci sono buone probabilità che lo scemo del villaggio è proprio chi cerca di scorgere un matematico!
Ritorniamo al nostro indizio, se scorgi, dunque, qualcuno che ha questa capacità di innervosire “l’avversario”, hai trovato il soggetto che potrebbe essere un matematico. Bisogna fare chiaramente ancora qualche verifica. Ossia, bisogna ascoltarlo, capirlo e quindi giudicarlo.
Qual è dunque il secondo passo da fare?
Il secondo passo è cercare di capire se, l’ipotetico matematico, tende a “ripulire” l’affermazione fatta dal suo interlocutore da elementi inutili e fuorvianti.  Un matematico sicuramente non è un amante del barocco; somiglia, più ad uno “spazzino” che al re Sole.
L’affermazione di cui si disquisisce, nelle mani del matematico, apparirà libera da orpelli, chiara, semplice ed enunciata in maniera inequivocabile.
A questo punto, viene il bello. Questo è il momento cruciale. Arriva l’attacco. In questo frangente, l’ipotetico matematico, ti potrà sembrare un violento. Dotato di una violenza inaudita e di una mancanza totale di rispetto.
L’unica cosa che sembra interessargli è l’attacco. La confutazione, la distruzione totale dell’affermazione fatta dal suo interlocutore.
L’idea è proporre un esempio che faccia scaturire, chiaramente, dall’affermazione  una contraddizione. Se il matematico, è ora di chiamarlo così, riesce nell’intento è probabile che l’interlocutore, in preda ad una crisi di nervi, abbandoni il campo, magari anche sproloquiando.

I numeri? Sono nati nel cuore dell’Africa 23 gennaio 2010

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VENTIMILA ANNI FA

Due ossa scoperte in Congo lanciano l’ipotesi sull’origine della matematica.

Senza aver mai messo piede in Africa Darwin aveva già capito tutto: era lì che bisognava cercare l’origine dell’umanità. Il nostro albero genealogico da Lucy, con i suoi tre milioni e mezzo di anni, a Roumai, vecchio di sette milioni di stagioni, continua a infrondarsi in quella terra delle meraviglie antropologiche che è l’Africa Orientale. Adesso si affaccia e si discute di un’altra ipotesi affascinante, sconvolgente: e se oltre che l’uomo anche la sua attività più astratta e insieme più pratica ovvero la matematica, fossero state inventate da un genio africano? Cinquemila anni fa ci avevano assicurato finora, nella terra dei due fiumi, i sumeri cominciarono a contare. Niente affatto! Ventimila anni fa nel cuore del continente nero pescatori pieni di immaginazione creativa già utilizzavano ossa segnate con sistemi numerici. C’è di che sconbussolare perfino gli estremismi di Martin Bernal e della sua Atena nera.

Raccontiamo questo giallo archeologico africano. Ventimila anni fa dunque, in Africa australe, ancor più di oggi terra coperta di foreste spesse e di laghi grandi come il mare. Gli archeologi vi diranno che era l’età della pietra tarda: la animavano tribù indaffarate di pastori e di allevatori. Qui vicino alle rive del lago Edward si dedicavano alla pesca. Era una vera civiltà, capace di migliorare sistematicamente i propri strumenti di lavoro, come gli arpioni fatti di osso, che disponeva di mole e pietre di quarzo perfettamente tagliate, che aveva corde fatte di fibre vegetali. Tutti oggetti che ha lasciato sulle rive del lago in provvidenziali discariche, insieme alle ossa degli animali e gli scheletri dei pesci. Quanto sarebbero smilzi i nostri libri di storia antica senza questi magazzini di rifiuti! Un giorno un pescatore, forse in attesa che la pesca desse i suoi frutti, prese in mano due piccole ossa, uno di dieci e l’altro di quattordici centimetri. Uno era di un mammifero, forse un leone, forse una grande scimmia, l’altra umano. Ne incise metodicamente la superficie su tutte le facce: i segni ancora oggi hanno una cadenza perfetta simmetrica, sono serie cadenzate separate da uno spazio. Quell’uomo era forse il primo matematico della storia?

Ventimila anni dopo, nel 1950, in quella terra si chiama Ishango una cittadina del Congo ancora belga arriva Jean de Heinzelin, ricercatore de l’Institut Royal des Sciences Naturelles. Ha scelto proprio quella terrazza fossile all’imbocco del lago perché qui sono stati ritrovati arpioni in osso e una mandibola di ominide. Intuizione fortunata la sua: dalle due profonde trincee scavate nel suolo escono conchiglie, arpioni, utensili in quarzo bianco. E il primo dei «bastoni di Ishango», l’osso che quell’ignoto antenato aveva così accuratamente inciso nella preistoria. Il suo lavoro è evidente: a una delle estremità ancora c’è un piccolo frammento di quarzo che serviva certo a tagliare. Nove anni dopo il secondo osso arrichisce e ispessisce il mistero. Che spalanca ipotesi così innovative da turbare gli studiosi da più di mezzo secolo e da indurli a prudentissime reticenze. A Bruxelles fino a venerdì le due ossa saranno le «vedette» di un convegno internazionale.

Eppure i numeri sono lì: tre tratti, otto tratti… come non convertire le colonne in cifre? Il gioco delle combinazioni è inarrestabile, su un lato 10+1, 20+1, i numeri primi nel secondo, la regola del doppio nella terza, insomma un sistema matematico completo a base dieci. Altri hanno speculato sulla presenza prevalente del sei. Ecco la prova definitiva! Ancora oggi molte popolazioni africane usano questa cifra come base di calcolo. Altri sono andati ancora più in là: è un calendario lunare. Oppure un’oggetto divinatorio. O uno strumento per dividere la pesca del giorno. Siamo alla fantascienza archeologica? Un regista misterioso si diverte a cancellare gli indizi: perché la mineralizzazione rende impossibile utilizzare la prova del radiocarbonio.

Pillole di matematica 22 gennaio 2010

Posted by Alessandra in Pillole d matematica.
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“APPRENDIMENTO SIGNIFICA ESPERIENZA. QUALSIASI ALTRA COSA E’ SOLO INFORMAZIONE.”

(A.Einstein)

L’importanza dellesperienza concreta e diretta, con gli oggetti reali, è rilevante per l ‘apprendimento anche nella matematica.

Pillole di Matematica 22 gennaio 2010

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“NON C’E’ APPRENDIMENTO SENZA DIVERTIMENTO E NON C’E’ DIVERTIMENTO SENZA APPRENDIMENTO”.
(McLuhan)

Ritengo, personalmente, che questo dovrebbe essere il fondamento principale, anche dell’apprendimento in matematica.

Il divertimento e la dimensione ludica stimolano ad apprendere in maniera significativa,  costruttiva e creativa.

Lo sviluppo dell’intelligenza numerica 21 gennaio 2010

Posted by Alessandra in Matematica innata.
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La conquista della conoscenza numerica è indubbiamente uno dei processi più affascinanti e complessi dello sviluppo infantile.

Come giungono i bambini a riconoscere le quantità, a rappresentarle e a manipolarle?


Secondo diversi studi, sia gli animali che i neonati sono capaci di riconoscere le quantità numeriche e sono in grado di distinguere gruppi di oggetti in base alla numerosità.

Alla luce di queste evidenze, Gallistere Gelman(1992) hanno ipotizzato che la conoscenza numerica abbia delle basi diverse ed indipendenti da quelle che coinvolgono le competenze linguistiche.

La capacità di manipolazione di quantità ci accompagna quindi fin dalla nascita. Questa capacità si chiama intelligenza numerica-“intelligere” le quantità-ovvero avere cognizione, capire, ragionare, attraverso il complesso sistema cognitivo dei numeri e delle quantità.

Abbiamo visto come bambini molto piccoli siano in grado di compiere semplici operazioni addizionali ben prima dell’età di sviluppo del linguaggio né tantomeno dell’ingresso a scuola. Infatti, anche la capacità di aggiungere e togliere un elemento da una quantità data è innata: n+1 e n-1.

Questa è la capacità primordiale che ci sostiene nelle operazioni di calcolo mentale.

Infine, anche la corrispondenza biunivoca e l’ordine stabile degli elementi sono innati. Si pensi ad esempio ad un bambino di 2 anni che ha degli oggetti in mano: il bambino è sicuramente in grado di dare un singolo oggetto a ciascuna delle persone presenti intorno a lui, e lo sa fare prima di aver imparato il nome dei numeri!

Le ricerche di Karen Wynn(1995) hanno evidenziato come la sensibilità del bambino alla numerosità vada oltre la percezione di oggetti, immobili o in movimento, e riguardi anche insiemi di azioni.

Il possesso del concetto di numerosità implica molto di più: il bambino di pochi mesi di vita non solo discrimina due insiemi in base al numero di elementi contenuti, ma possiede anche aspettative aritmetiche basate sul concetto di numerosità.

Wynn(1992) ha riscontrato come bambini di 5-6 mesi sappiano compiere semplici operazioni di tipo additivo (1 + 1) e sottrattivo (2 -1).

Il possesso del concetto di numerosità implica molto di più: il bambino di pochi mesi di vita non solo discrimina due insiemi in base al numero di elementi contenuti, ma possiede anche aspettative aritmetiche basate sul concetto di numerosità.

Wynn(1992) ha riscontrato come bambini di 5-6 mesi sappiano compiere semplici operazioni di tipo additivo (1 + 1) e sottrattivo (2 -1).

Fino ai 4 anni non è però chiara la relazione tra questa strategia e il conteggio: ad esempio il bambino sa utilizzare la strategia «uno per te e uno per me» per distribuire equamente dolci, ma se poi lo sperimentatore li conta e afferma di averne quattro, il bambino non è in grado di inferire di averne lo stesso numero (Pesenti, 1995).

Come Gelman e Gallistel, Fuson riscontra la presenza dei principi della conta, di associazione uno a uno e di ordine stabile (che lei definisce non come principi, bensì come «competenze concettuali»), ma è convinta che siano indispensabili ripetuti momenti di apprendimento e quindi molto tempo, prima che questi principi vengano utilizzati in modo corretto e competente.

Come Gelman e Gallistel, Fuson riscontra la presenza dei principi della conta, di associazione uno a uno e di ordine stabile (che lei definisce non come principi, bensì come «competenze concettuali»), ma è convinta che siano indispensabili ripetuti momenti di apprendimento e quindi molto tempo, prima che questi principi vengano utilizzati in modo corretto e competente.

Passando agli studi specifici sull’ acquisizione della matematica scritta, il modello proposto da Hierbert (1988) prevede lo sviluppo gerarchico di cinque processi cognitivi specifici:

  1. Connettere i simboli ai referenti. Il bambino deve stabilire sia il collegamento tra simboli scritti del numero e relative quantità, sia quello tra segni operatori scritti e operazioni sulle quantità. A tale livello la conoscenza del significato dei segni consiste nella comprensione dell’ azione da svolgere sulla quantità concretamente mostrata (+ = unire, : = distribuire, ecc.).
  2. Sviluppare procedure di manipolazione del simbolo. Le azioni sui referenti concreti vengono eseguite, osservate e trasferite al mondo dei simboli. Ad esempio l’addizione a questo livello implica che l’azione sui referenti venga rappresentata simbolicamente mediante la combinazione delle cifre che occupano la stessa posizione nei numeri scritti (algoritmo dell’ addizione in colonna: unità con unità, decine con decine, ecc.).
  3. Elaborare procedure per i simboli. Le regole note per la manipolazione dei simboli vengono elaborate sia riconoscendone la trasferibilità ad altre situazioni (ad esempio le regole dell’addizione vengono applicate a numeri più elevati), sia utilizzandole per sviluppare nuove procedure:
  4. «L’allievo, riflettendo sulla natura della procedura dell’ addizione, basata sulla scomposizione e ricomposizione degli addendi può sviluppare una procedura per la sottrazione fondata sullo stesso principio».
  5. Automatizzare le procedure di manipolazione dei simboli. Tale processo è indispensabile per progredire nelle competenze di calcolo e consente di liberare spazio mentale per altri compiti cognitivi.
  6. Costruire sistemi simbolici più astratti. A partire dai sistemi simbolici familiari vengono costruiti simboli e regole più astratti. Lo scopo di questo quinto processo è lo stesso del primo, ossia la costruzione dei significati dei simboli, ma in questo caso i referenti non sono più concreti.

In sintesi, la teoria di Hierbert afferma che l’elemento centrale della competenza nella matematica scritta è la padronanza del rapporto tra simbolo e referente, ossia la capacità di ritornare al significato partendo dalle rappresentazioni scritte.

Dal punto di vista evolutivo, si è osservato che i bambini di 3-4 anni ricorrono molto a notazioni sia idiosincratiche che pittografiche, mentre quelli di 4-5 anni usano prevalentemente segni iconici (lettere e altri simboli) e cominciano a utilizzare numeri arabici, dimostrando maggiore capacità di astrazione. Già a 5 anni il numero arabico viene usato con familiarità, ma solo dai 5-6 anni la maggior parte dei bambini dimostra di saper scegliere il simbolo corrispondente alla quantità esatta (entro il 9), anche se si riscontrano con frequenza errori di scrittura quali la specularità e le rotazioni (es. 6/9).

Dal punto di vista evolutivo, si è osservato che i bambini di 3-4 anni ricorrono molto a notazioni sia idiosincratiche che pittografiche, mentre quelli di 4-5 anni usano prevalentemente segni iconici (lettere e altri simboli) e cominciano a utilizzare numeri arabici, dimostrando maggiore capacità di astrazione. Già a 5 anni il numero arabico viene usato con familiarità, ma solo dai 5-6 anni la maggior parte dei bambini dimostra di saper scegliere il simbolo corrispondente alla quantità esatta (entro il 9), anche se si riscontrano con frequenza errori di scrittura quali la specularità e le rotazioni (es. 6/9).

La capacità di leggere i numeri precede la capacità di riprodurli graficamente. Tuttavia il riconoscimento del numero scritto da parte del bambino non implica necessariamente l’acquisizione della corretta rappresentazione della quantità corrispondente (semantica del numero), la quale avviene per fasi che implicano diversi livelli di combinazione tra la capacità di leggere correttamente il numero e quella di assegnare a esso il corretto valore numerico.

I numeri primitivi appartengono a tre classi distinte, chiamate «ordini di grandezza» o «livelli»:

a) le unità;

b) i «teens», che contengono la sottocategoria dei «dici» (11, 12, 13, …);

c) le decine (20, … 30, …40, …).

Ogni elemento è caratterizzato, oltre che dalla classe cui appartiene, dalla posizione occupata nella classe stessa. Ad esempio: il cinque possiede la quinta posizione nel livello delle unità; il quindici, la quinta posizione in quello dei «teens», il quaranta la quarta posizione in quello delle decine.

Per quanto riguarda gli errori maggiormente commessi dai bambini nella lettura dei numeri, si possono distinguere:

errori a livello di lessico numerico, quelli cioè relativi alla produzione delle singole cifre, ma che non coinvolgono il loro posto all’interno del numero. Ad esempio: 4 / 7 leggo, o mi rappresento mentalmente, scrivo o dico ad alta voce «sette» invece di «quattro»

errori di lettura a base sintattica, quelli cioè dovuti a difficoltà nel riconoscimento delle posizioni delle cifre all’interno del numero, legati pertanto alla sintassi interna del numero stesso.

Ad esempio: 574 «cinquesettequattro» 20057 «duecentocinquantasette”.

In letteratura esistono diverse ricerche che hanno tentato di delineare le principali fasi evolutive, tuttavia non esiste un quadro univoco o generalizzabile.

A detenere i maggiori consensi in questa prospettiva controversa è l’ipotesi di fondo secondo la quale il riconoscimento del numero scritto procederebbe per fasi successive e complementari, implicando un’interdipendenza tra la capacità di leggere i numeri e di riconoscerne il corrispondente semante quantitativo.

Si riferiscono pertanto sia al dire la sequenza dei numeri (enumerare), che al sapere leggere e scrivere.

Il codice arabico costituisce un sistema che, attraverso regole convenzionali, ci consente di simboleggiare le quantità, traducendole in segni grafici che si possono quindi leggere e scrivere attribuendo al numero le proprie caratteristiche lessicali.

I processi sintattici organizzano le conoscenze semantiche. Nello specifico, tali processi riguardano le relazioni spaziali tra le cifre che compongono il numero, sono i meccanismi che ci consentono di definire le decine, le unità, le centinaia, presenti in un numero.

La grammatica del numero è determinata dalla posizione che le cifre occupano all’interno del numero stesso, e tali cifre acquisiscono un certo valore proprio in base alla posizione occupata.